Menu · Definições e resultados · Bolfarine & Bussab, Elementos de Amostragem, caps. 1–4 (págs. 1–126)

Amostragem — guia de prova, capítulos 1 a 4

Do vocabulário do levantamento à amostragem estratificada: enunciados, as contas que caem, e um exemplo numérico por ideia.

definição / resultado por que é verdade exemplo receita de prova armadilha

Para levar impresso: Ctrl+P → “Salvar como PDF” → margens padrão. Sai em duas colunas A4; esta caixa e os links de rodapé não são impressos. As aulas longas, com as demonstrações completas, estão em cap. 1, cap. 2, cap. 3 e cap. 4.

0 · Mapa de decisão — o que a questão pede × o que usar

A questão pede…	Ferramenta	§
“qual é a população alvo / amostrada?”, “o que é a unidade?”	vocabulário do cap. 1: alvo ⊃ referida ⊃ amostrada; elementar × amostral × informante	1
“esta amostra é representativa?”	trocar por probabilística: todo $s$ com $P (s)$ conhecida e positiva	1
“média das razões ou razão dos totais?”	$\bar{R} = \frac{1}{N} \sum Y_{i} / X_{i}$ contra $R = τ (Y) / τ (X)$ : parâmetros diferentes	2
“escreva o plano”, “liste $S_{A}$ ”	Def. 2.5: pares $(s, P (s))$ , $\sum P (s) = 1$	2
$E [t]$ , $Var [t]$ de uma estatística qualquer	distribuição amostral: $\sum t (s) P (s)$ , sem atalho	2
“é não viesado?”, “qual o EQM?”	$B = E [t] - θ$ ; $EQM = Var + B^{2}$	2
$π_{i}$ , $π_{i j}$ , ou “vale (2.14)?”	$π_{i} = \sum_{s ∋ i} P (s) = E [δ_{i}]$ ; (2.14) só em plano simétrico de tamanho fixo	2
variância de $\bar{y}$ , “com reposição”	$σ^{2} / n$ — e $N^{2} σ^{2} / n$ para o total	3
idem, “sem reposição” (o caso real)	$(1 - f) S^{2} / n$ , $f = n / N$	3
intervalo de confiança	$\bar{y} \pm z_{α} \sqrt{var [\bar{y}]}$ , com $s^{2}$ no lugar do parâmetro	3
“quantos elementos devo sortear?”	$D = B^{2} / z_{α}^{2}$ ; depois $n = σ^{2} / D$ (c/rep.) ou $1 / (D / S^{2} + 1 / N)$	3
proporção, porcentagem, “quantos %”	a mesma fórmula com $Y_{i}$ 0–1: $σ^{2} = P Q$ , $S^{2} = \frac{N}{N - 1} P Q$	3
“ $\bar{y}$ é o melhor estimador?”	Teor. 3.6 / 3.10: sim, entre os lineares não viesados $(\sum ℓ_{i} = 1)$	3
“compare os dois planos”, “vale a pena?”	EPA = razão das variâncias; AASs × AASc dá $(N - n) / (N - 1)$	3
população dividida em grupos conhecidos	${\bar{y}}_{es} = \sum W_{h} {\bar{y}}_{h}$ , $W_{h} = N_{h} / N$ (Teor. 4.1)	4
“como reparto $n$ entre os estratos?”	proporcional $n W_{h}$ ; ótima $\propto W_{h} σ_{h}$ (Neyman); com custo, divida ainda por $\sqrt{c_{h}}$	4
“estratificar ajuda?”, “quanto ganhei?”	$σ_{e}^{2}$ é o ganho: $V_{pr} = σ_{d}^{2} / n$ contra $V_{c} = σ^{2} / n$	4
orçamento $C = c_{0} + \sum c_{h} n_{h}$ fixo	(4.18): $n = (C - c_{0}) \sum W_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}} \div \sum W_{h} σ_{h} \sqrt{c_{h}}$	4

1 · Capítulo 1 — o levantamento antes da fórmula

Do objetivo ao parâmetro — a cadeia que a prova cobra

Objetivo → constructo (a ideia: “bem-estar”, “intenção de voto”) → variável (o que se mede: renda em R$) → parâmetro (o número-alvo: $μ$ , $τ$ , $P$ , $R$ ).

O constructo nunca é observável: escolher a variável que o representa é decisão do pesquisador, e é o primeiro lugar onde o levantamento pode errar sem que nenhuma fórmula acuse.

Duas razões diferentes. Para $Y$ (despesa) e $X$ (renda):

R = \frac{\sum Y_{i}}{\sum X_{i}} \bar{R} = \frac{1}{N} \sum_{i} \frac{Y_{i}}{X_{i}}

“Que fração da renda do país vai em comida” é $R$ ; “qual a fração média nos domicílios” é $\bar{R}$ . Números diferentes, perguntas diferentes.

Três unidades, três populações

Unidade elementar — de quem se quer a informação (o domicílio).
Unidade amostral — o que é sorteado (o quarteirão, se o sorteio é por quarteirão).
Unidade de resposta / informante — quem responde (o morador que atende).

As três só coincidem na AAS de uma lista de pessoas. Quando a amostral ≠ elementar, o plano já é de conglomerados ou de estágios (caps. 7–8).

População alvo — a que se quer descrever;
População referida — a que o cadastro/sistema de referência descreve;
População amostrada — a que de fato podia ser sorteada.

Alvo ⊇ referida ⊇ amostrada. Toda a inferência estatística vale para a amostrada; passar dela à alvo é argumento substantivo, não probabilidade. As diferenças são erros de cobertura (Fig. 1.1).

Estrato × subclasse (cai quase sempre)

Estrato — subdivisão usada no sorteio: eu decido $n_{h}$ antes de olhar os dados, e $N_{h}$ é conhecido. $n_{h}$ é constante.

Subclasse (domínio) — subdivisão descoberta depois, na análise (“entre os aposentados da amostra…”). O tamanho na amostra é aleatório, e por isso a variância do estimador na subclasse é maior que a de um estrato do mesmo tamanho.

“Amostra representativa” não existe como critério

Não há como verificar, antes de conhecer a população, se uma amostra “se parece” com ela. O que se controla é o processo: uma amostra é probabilística quando todo $s \in S_{A}$ tem $P (s)$ conhecida e $> 0$ . Só então se pode calcular viés, variância e intervalo.

Amostras intencionais, por cotas ou de voluntários podem até acertar, mas não trazem consigo medida de erro — e é a medida de erro que se está comprando.

Receita — o levantamento em 8 passos (cai como questão discursiva)

Objetivos e constructos; que decisão depende do número.
População: unidade elementar, alvo, cadastro (sistema de referência).
Variáveis e parâmetros; precisão desejada ( $B$ e $γ$ ).
Plano amostral e tamanho $n$ (caps. 3–9).
Instrumento e método de coleta; pré-teste.
Campo: treino, supervisão, controle de não resposta.
Preparação: crítica, codificação, digitação, imputação.
Análise com os pesos do plano, e relatório com a ficha técnica.

Erro amostral × erro não amostral

Amostral: vem de observar só parte. É o que $Var [\bar{y}]$ mede; diminui com $n$ e some no censo.

Não amostral: cobertura, não resposta, resposta incorreta, erro de digitação, viés do entrevistador. Não diminui com $n$ — um censo mal feito tem mais erro não amostral que uma amostra bem feita. É o argumento clássico a favor da amostra: menos unidades permite mais cuidado em cada uma, além de custo e prazo menores.

Exemplo — o exemplo eleitoral (p. 21)

Enunciado. Candidato com $p = 0,56$ na amostra. Meia-largura do IC de 95%: $1,96 \sqrt{p q / n}$ .

$n$	margem	intervalo
100	9,7 p.p.	46,3 % – 65,7 %
400	4,9 p.p.	51,1 % – 60,9 %
1600	2,4 p.p.	53,6 % – 58,4 %

A leitura. Quadruplicar $n$ corta a margem pela metade — $\sqrt{n}$ , não $n$ . E $N$ não aparece: numa população grande, a precisão depende de $n$ , não da fração amostrada. (O livro imprime “53,5% a 59,5%” na última linha; é gralha.)

2 · Capítulo 2 — o formalismo que sustenta tudo

População, dados, parâmetro

$U = {1, \dots, N}$ são rótulos; $D = (Y_{1}, \dots, Y_{N})$ é o vetor de valores — fixo, não aleatório. Parâmetro é qualquer função $θ (D)$ .

τ = \sum_{i} Y_{i}, μ = \frac{τ}{N}, σ^{2} = \frac{1}{N} \sum_{i} {(Y_{i} - μ)}^{2}

S^{2} = \frac{1}{N - 1} \sum_{i} {(Y_{i} - μ)}^{2} = \frac{N}{N - 1} σ^{2}

Nada é aleatório aqui: a aleatoriedade entra só pelo sorteio. É o que separa este curso da inferência usual — não há “modelo” para $D$ .

Variável 0–1: se $Y_{i} \in {0, 1}$ então $μ = P$ , $σ^{2} = P Q$ , $S^{2} = \frac{N}{N - 1} P Q$ . Toda fórmula de média vale para proporção — é só substituir.

Amostra ordenada e as duas variáveis-chave (Defs. 2.1–2.4)

$s = (i_{1}, \dots, i_{n})$ é uma sequência de rótulos, com repetição permitida. Sobre ela:

$f_{i} (s)$ = quantas vezes $i$ aparece em $s$ ;
$δ_{i} (s) = 1$ se $i \in s$ , 0 se não — o indicador;
$n (s) = \sum f_{i}$ (tamanho, com repetição) e $ν (s) = \sum δ_{i}$ (distintos).

Toda estatística deste livro se escreve com elas — e é assim que $E$ e $Var$ saem sem listar as amostras:

t (s) = \sum_{i \in s} y_{i} = \sum_{i = 1}^{N} f_{i} (s) Y_{i}

A soma da esquerda é sobre a amostra (aleatória); a da direita é sobre a população (fixa), com o acaso todo dentro de $f_{i}$ . Essa troca é o gesto do capítulo.

Plano amostral, simetria, tamanho fixo (Def. 2.5)

Plano = par $(S_{A}, P (\cdot))$ com $P (s) ⩾ 0$ e $\sum P (s) = 1$ . Dois atributos que aparecem em quase toda demonstração:

simétrico — $f_{i}$ tem a mesma distribuição para todo $i$ (e $(f_{i}, f_{j})$ a mesma conjunta para todo par). Então $E [f_{i}] = E [f]$ não depende de $i$ .
tamanho fixo — $n (s) = n$ para todo $s$ .

Com os dois juntos: $E [f] = n / N$ e $Cov [f_{i}, f_{j}] = - Var [f] / (N - 1)$ (2.9).

O resultado central (2.14)–(2.15)

Para $t = \sum f_{i} Y_{i}$ sob plano simétrico de tamanho fixo:

E [t] = E [f] τ, Var [t] = Var [f] N S^{2}

(2.14)–(2.15)

Toda a teoria dos caps. 3 e 4 é este par. Basta saber a distribuição de $f_{i}$ :

plano	$f_{i} \sim$	$E [f]$	$Var [f]$
AASc	Binomial $(n, 1 / N)$	$n / N$	$\frac{n}{N} (1 - \frac{1}{N})$
AASs	Bernoulli $(n / N)$	$n / N$	$\frac{n}{N} (1 - \frac{n}{N})$

Na AASs $f_{i} = δ_{i}$ , porque ninguém entra duas vezes. Daí sai o $(1 - f)$ do cap. 3 — nada além disso.

Distribuição amostral, viés, EQM (Defs. 2.8, 2.10–2.11)

A distribuição amostral de $t$ é a lista de valores $t (s)$ com as probabilidades $P (s)$ somadas por valor repetido. Dela saem

E [t] = \sum_{s} t (s) P (s), B [t] = E [t] - θ

EQM [t] = E [{(t - θ)}^{2}] = Var [t] + B^{2} [t]

Probabilidades de inclusão (Def. 2.9): $π_{i} = \sum_{s ∋ i} P (s) = E [δ_{i}]$ ; $π_{i j} = E [δ_{i} δ_{j}]$ . Em plano de tamanho fixo $\sum π_{i} = n$ . Se algum $π_{i} = 0$ , a unidade é inalcançável e nenhum estimador pode ser não viesado para todo $D$ .

Exemplo — a população de três domicílios (fio condutor dos caps. 2–3)

Enunciado. $D = (12, 30, 18)$ , $N = 3$ . Então $τ = 60$ , $μ = 20$ , $σ^{2} = 56$ , $S^{2} = 84$ .

AASc, $n = 2$ . 9 amostras ordenadas, $1 / 9$ cada. $E [\bar{y}] = 20$ e $Var [\bar{y}] = 28 = σ^{2} / 2$ .

AASs, $n = 2$ . 3 amostras, $1 / 3$ cada: ${12, 30}$ , ${12, 18}$ , ${30, 18}$ → $\bar{y} = 21, 15, 24$ . $E = 20$ , $Var = 14 = (1 - \frac{2}{3}) \frac{84}{2}$ .

Metade da variância com o mesmo $n$ : é o EPA $= (N - n) / (N - 1) = 1 / 2$ .

Julga-se o plano, não a amostra

“Não viesado” é propriedade da média sobre todas as amostras possíveis. A amostra que você tem na mão pode estar longe de $θ$ — e nada nela diz isso. Por isso a resposta correta nunca é “a amostra deu 15, logo está errada”, e sim “sob este plano, $E [\bar{y}] = μ$ e o erro padrão é tanto”.

3 · Capítulo 3 — amostragem aleatória simples

Os dois sabores, lado a lado (Teoremas 3.1–3.9)

AASc = $n$ sorteios independentes com reposição, $P (s) = 1 / N^{n}$ . AASs = sem reposição, $P (s) = 1 / \binom{N}{n}$ entre as $\binom{N}{n}$ não ordenadas. Ambos são simétricos de tamanho fixo.

	AASc	AASs
$Var [\bar{y}]$	$σ^{2} / n$	$(1 - f) S^{2} / n$
$Var [T]$	$N^{2} σ^{2} / n$	$N^{2} (1 - f) S^{2} / n$
estimador de variância	$s^{2} / n$	$(1 - f) s^{2} / n$
$E [s^{2}]$	$σ^{2}$	$S^{2}$
$π_{i}$	$1 - {(1 - \frac{1}{N})}^{n}$	$n / N$
$Cov [y_{i}, y_{j}]$	0 (independentes)	$- S^{2} / N$

Em ambos $E [\bar{y}] = μ$ e $E [T] = τ$ , com $T = N \bar{y}$ (estimador expansão) e $f = n / N$ .

Por que aparece $(1 - f)$ — e não some no resto

Com $\bar{y} = t / n$ , (2.15) dá $Var [\bar{y}] = Var [f] N S^{2} / n^{2}$ . Só muda $Var [f]$ :

AASc : \frac{n}{N} (1 - \frac{1}{N}) \frac{N S^{2}}{n^{2}} = \frac{(N - 1) S^{2}}{N n} = \frac{σ^{2}}{n}

AASs : \frac{n}{N} (1 - \frac{n}{N}) \frac{N S^{2}}{n^{2}} = (1 - f) \frac{S^{2}}{n}

A razão entre as duas é o EPA da AASs contra a AASc:

\frac{1 - n / N}{1 - 1 / N} = \frac{N - n}{N - 1} ⩽ 1

Sortear sem reposição nunca piora, e melhora muito quando $n$ é fração grande de $N$ (no censo, $n = N$ , a variância zera).∎

Receita — intervalo de confiança

Calcule $\bar{y}$ e $s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$ .
Erro padrão: $\sqrt{(1 - f) s^{2} / n}$ (tire o $(1 - f)$ se for com reposição).
$\bar{y} \pm z_{α} \times$ erro padrão. Para o total, multiplique tudo por $N$ .

Justificativa: $\bar{y}$ é assintoticamente normal (cap. 10) — em população finita o TLC vale sob condições de regularidade, e a aproximação é ruim com $n$ pequeno e população assimétrica.

Tamanho da amostra (3.20)–(3.21), (3.29)

Parta de $P (| \bar{y} - μ | ⩽ B) = γ$ e defina $D = B^{2} / z_{α}^{2}$ . Então

n_{c} = \frac{σ^{2}}{D} n_{s} = \frac{1}{D / S^{2} + 1 / N}

Para o total, troque $D$ por $D / N^{2}$ : $n = N / [N D / S^{2} + 1]$ . Para proporção, $S^{2} = \frac{N}{N - 1} P Q$ e, sem informação sobre $P$ , o conservador usa $P Q = 1 / 4$ :

n = \frac{N}{4 (N - 1) D + 1}

(3.34)

Na AASs sempre $n < N$ : o termo $1 / N$ é o teto do censo. Na AASc não há teto — $σ^{2} / n$ nunca zera.

Exemplo — 1 000 operários de 36 000 (Exs. 3.5–3.7)

Enunciado. Faltas em 6 meses; $\bar{y} = 1,296$ , $s^{2} = 2,397$ , $f = 1 / 36$ .

Média. ep $= \sqrt{(35 / 36) 2,397 / 1000} = 0,0483$ → IC 95% (1,201; 1,391).

Total. $T = 36000 \times 1,296 = 46656$ ; IC (43 250; 50 062) — é só multiplicar o IC da média por $N$ .

Tamanho. $B = 0,05$ , $z_{α} \approx 2$ : $D = 0,000625$ e $n = 1 / (0,000261 + 0,0000278) ≅ 3466$ . Com 1,96 daria 3 341 — o livro alterna $2$ e $1,96$ ; escreva qual usou.

Proporção. Mais de 3 faltas: 88 de 1 000, $p = 0,088$ , ep $= \sqrt{(35 / 36) 0,088 \times 0,912 / 999}$ → IC (0,071; 0,105); para $B = 0,01$ , $n ≅ 2948$ .

Otimalidade de $\bar{y}$ (Teors. 3.6 e 3.10)

Na classe dos lineares ${\bar{y}}_{s ℓ} = \sum ℓ_{i} y_{i}$ com $\sum ℓ_{i} = 1$ (condição de não viés para todo $D$ ), $\bar{y}$ (todos $ℓ_{i} = 1 / n$ ) tem variância mínima — com ou sem independência. Na AASs,

Var [{\bar{y}}_{s ℓ}] = S^{2} (\sum_{i} ℓ_{i}^{2} - \frac{1}{N})

(3.35)

e $\sum ℓ_{i}^{2}$ é mínima quando todos os pesos são iguais (Cauchy–Schwarz). Fora da classe linear há estimadores melhores quando se tem informação auxiliar — é o cap. 5.

4 · Capítulo 4 — amostragem estratificada

Notação de índice duplo

$U$ dividida em $H$ estratos disjuntos e exaustivos, com $N_{h}$ conhecido. Peso $W_{h} = N_{h} / N$ , $\sum W_{h} = 1$ . Dentro do estrato, tudo é o cap. 3 com $N_{h}$ , $n_{h}$ , $μ_{h}$ , $σ_{h}^{2}$ , $S_{h}^{2}$ .

τ = \sum_{h} τ_{h}, μ = \sum_{h} W_{h} μ_{h}

A média global é média ponderada das médias dos estratos — nunca a média simples delas, a menos que os estratos tenham o mesmo tamanho.

A decomposição da variância (4.3)–(4.4) — o coração do capítulo

σ^{2} = \sum_{h} W_{h} σ_{h}^{2} + \sum_{h} W_{h} {(μ_{h} - μ)}^{2} = σ_{d}^{2} + σ_{e}^{2}

$σ_{d}^{2}$ = variância dentro (média das variâncias); $σ_{e}^{2}$ = variância entre (variância das médias).

A estratificação elimina $σ_{e}^{2}$ e nada mais. Por isso: estratos com médias muito diferentes ⇒ ganho grande; médias iguais ( $σ_{e}^{2} = 0$ ) ⇒ ganho nenhum. A regra prática: homogêneo dentro, heterogêneo entre.

Teorema 4.1 e Corolário 4.2 — o estimador

Sorteios independentes em cada estrato, por qualquer plano não viesado. Então

{\bar{y}}_{es} = \sum_{h} W_{h} {\bar{y}}_{h}, E [{\bar{y}}_{es}] = μ

Var [{\bar{y}}_{es}] = \sum_{h} W_{h}^{2} Var [{\bar{y}}_{h}]

Cor. 4.1

Sem termo de covariância: os estratos são sorteados independentemente. Substituindo a variância do cap. 3:

AASc : \sum_{h} W_{h}^{2} \frac{σ_{h}^{2}}{n_{h}}, AASs : \sum_{h} W_{h}^{2} (1 - f_{h}) \frac{S_{h}^{2}}{n_{h}}

Estimador do total: ${\hat{τ}}_{es} = N {\bar{y}}_{es} = \sum N_{h} {\bar{y}}_{h}$ , com variância $N^{2}$ vezes a de cima.

As quatro alocações

alocação	$n_{h} =$	quando
uniforme	$n / H$	estimar cada estrato com igual precisão
proporcional (AEpr)	$n W_{h}$	padrão; não precisa saber $σ_{h}$
ótima / Neyman	$n \frac{W_{h} σ_{h}}{\sum W_{k} σ_{k}}$	custos iguais, $σ_{h}$ conhecidos
ótima com custo	$n \frac{W_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}}}{\sum W_{k} σ_{k} / \sqrt{c_{k}}}$	$C = c_{0} + \sum c_{h} n_{h}$

Leia Neyman assim: amostre mais onde o estrato é grande ( $W_{h}$ ), variável ( $σ_{h}$ ) e barato ( $1 / \sqrt{c_{h}}$ ). Se $σ_{h}$ for igual em todos, Neyman é a proporcional.

Com orçamento $C$ fixado, o $n$ total sai de (4.22):

n = (C - c_{0}) \frac{\sum W_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}}}{\sum W_{h} σ_{h} \sqrt{c_{h}}}

(4.18)

Por que Neyman — Cauchy–Schwarz em uma linha

Minimizar $\sum a_{h}^{2} / n_{h}$ com $\sum n_{h} = n$ , onde $a_{h} = W_{h} σ_{h}$ . Como

{(\sum_{h} a_{h})}^{2} = {(\sum_{h} \frac{a_{h}}{\sqrt{n_{h}}} \sqrt{n_{h}})}^{2} ⩽ (\sum_{h} \frac{a_{h}^{2}}{n_{h}}) n

então $\sum a_{h}^{2} / n_{h} ⩾ {(\sum a_{h})}^{2} / n$ , com igualdade se e só se $a_{h} / \sqrt{n_{h}} \propto \sqrt{n_{h}}$ , isto é $n_{h} \propto a_{h} = W_{h} σ_{h}$ . O mínimo vale $V_{ot} = {(\sum W_{h} σ_{h})}^{2} / n$ .∎

Teorema 4.4 — a desigualdade que resume o capítulo

V_{ot} ⩽ V_{pr} ⩽ V_{c}

Teor. 4.4

e as diferenças têm nome (com $\bar{σ} = \sum W_{h} σ_{h}$ ):

V_{pr} - V_{ot} = \frac{1}{n} \sum_{h} W_{h} {(σ_{h} - \bar{σ})}^{2} = \frac{σ_{dp}^{2}}{n}

(4.24)

V_{c} = V_{pr} + \frac{σ_{e}^{2}}{n} = V_{ot} + \frac{σ_{e}^{2}}{n} + \frac{σ_{dp}^{2}}{n}

(4.25)

A leitura: a AASc paga dois pedágios — um porque as médias dos estratos diferem ( $σ_{e}^{2}$ , e a proporcional já o elimina), outro porque os desvios diferem (e só Neyman o elimina). Com $σ_{h}$ parecidos, o segundo é desprezível: a proporcional já é quase ótima.

Exemplo — oito domicílios (Ex. 4.1), tudo numa conta

Enunciado. $Y = (13, 17, 6, 5, 10, 12, 19, 6)$ , região $=$ (B,A,B,B,B,A,A,B). $μ = 11$ , $σ^{2} = 24$ .

Estratos: $D_{A} = (17, 12, 19)$ , $μ_{A} = 16$ , $σ_{A}^{2} = 8,67$ ; $D_{B} = (13, 6, 5, 10, 6)$ , $μ_{B} = 8$ , $σ_{B}^{2} = 9,2$ . $W_{A} = 3 / 8$ .

Decomposição. $σ_{d}^{2} = 0,375 \times 8,67 + 0,625 \times 9,2 = 9,0$ ; $σ_{e}^{2} = 0,375 \times 5^{2} + 0,625 \times 3^{2} = 15,0$ . Soma 24 ✓

Com $n = 4$ , AASc dentro:

plano	$(n_{A}, n_{B})$	Var	EPA
AASc, sem estratificar	—	6,00	1,00
AE uniforme	(2 ; 2)	2,41	0,40
AE proporcional	(1,5 ; 2,5)	2,25	0,375
AE ótima (Neyman)	(1,47 ; 2,53)	2,2495	0,375

A moral. O salto grande (6,00 → 2,25) é a estratificação; o refinamento de Neyman vale aqui só 0,0005, porque $σ_{A} = 2,94$ e $σ_{B} = 3,03$ são quase iguais — exatamente o que (4.24) prevê. Note também que $σ_{d}^{2} / n = 9 / 4 = 2,25$ sai direto de (4.9), sem somar estrato por estrato.

Exemplo — a alocação errada custa caro (Ex. 4.4)

Mesma população, estratos $U_{1} = {2, 4, 7}$ ( $S_{1}^{2} ≅ 57,3$ ) e $U_{2}$ com 5 unidades ( $S_{2}^{2} = 10,8$ ), AASs, $n = 3$ :

$(n_{1}, n_{2}) = (1, 2)$ → $Var = 5,37 + 1,27 = 6,64$
$(n_{1}, n_{2}) = (2, 1)$ → $Var = 1,34 + 3,38 = 4,72$

Razão 1,41: dar mais amostra ao estrato mais variável (ainda que menor) reduz a variância em 29%. É Neyman em miniatura.

IC, tamanho da amostra e proporções

{\bar{y}}_{es} \pm z_{α} \sqrt{\sum_{h} W_{h}^{2} \frac{s_{h}^{2}}{n_{h}}}

Para achar $n$ é preciso fixar antes a forma da alocação ( $n_{h} = n w_{h}$ ), porque a variância depende dos $n_{h}$ . Com proporcional e Neyman:

n_{pr} = \frac{σ_{d}^{2}}{D}, n_{ot} = \frac{{\bar{σ}}^{2}}{D}, D = B^{2} / z_{α}^{2}

(4.31)

Contra $n = σ^{2} / D$ da AASc: a economia de amostra é a razão $σ_{d}^{2} / σ^{2}$ .

Proporções: $p_{es} = \sum W_{h} {\hat{P}}_{h}$ , $V_{es} = \sum W_{h}^{2} P_{h} Q_{h} / n_{h}$ , e Neyman vira

n_{h} = n \frac{N_{h} \sqrt{P_{h} Q_{h}}}{\sum N_{k} \sqrt{P_{k} Q_{k}}}

(4.33)

Como $\sqrt{P Q}$ varia pouco para $P$ entre 0,2 e 0,8, Neyman ≈ proporcional para proporções moderadas; a diferença só aparece com proporções raras.

Três armadilhas da estratificada

${\bar{y}}_{m} = \sum (n_{h} / n) {\bar{y}}_{h}$ — a média simples da amostra toda — é viesada para $μ$ , a menos que $n_{h} / n = W_{h}$ . Use sempre os pesos $W_{h}$ , não os da amostra.
Estratificar não garante ganho com alocação arbitrária: (4.27) pode passar de 1 se um estrato grande e variável recebe amostra pequena.
$N_{h}$ precisa ser conhecido antes. Se você descobre os grupos só depois de sortear, isso é pós-estratificação / domínio, não estratificação (cap. 5).

5 · Fato ou fake — os erros que o corretor procura

Verdadeiro ✓ / falso ✗

✗ “a precisão depende da fração $n / N$ ”: depende de $n$ . O $(1 - f)$ só importa quando $f$ é grande — com $N = 36$ mil e $n = 1000$ ele corta 1,4% do erro padrão.
✓ $s^{2}$ estima $σ^{2}$ na AASc e $S^{2}$ na AASs — o mesmo $s^{2}$ , alvos diferentes.
✗ “ $\bar{y}$ é não viesado, logo esta estimativa está certa”: não viés é propriedade do plano, média sobre todas as amostras.
✗ “o intervalo de 95% contém $μ$ com probabilidade 95%”: $μ$ é constante; a probabilidade é do intervalo, antes do sorteio. Em 5% das amostras ele erra — e você não sabe se a sua é uma delas.
✓ toda fórmula de média vale para proporção com $Y_{i}$ 0–1; $σ^{2} = P Q$ .
✗ usar $s^{2} / n$ como variância estimada numa AASs: falta $(1 - f)$ . E na proporção, o denominador é $n - 1$ .
✗ “(2.14) vale para qualquer plano”: exige simétrico e de tamanho fixo. O plano E do Ex. 2.6 (com $π_{13} = 0$ ) não é.
✓ $\sum π_{i} = n$ em plano de tamanho fixo — bom teste de aritmética.
✗ “estratificar sempre melhora”: com $σ_{e}^{2} = 0$ (médias iguais) não melhora nada; com alocação ruim, piora.
✗ confundir $σ_{h}^{2}$ com $S_{h}^{2}$ nas fórmulas do cap. 4: as de AASc pedem $σ_{h}^{2}$ , as de AASs pedem $S_{h}^{2}$ . Converta por $σ_{h}^{2} = \frac{N_{h} - 1}{N_{h}} S_{h}^{2}$ .
✗ média simples das médias dos estratos: é $\sum W_{h} μ_{h}$ .
✓ na AASs os $y_{i}$ são dependentes ( $Cov = - S^{2} / N$ ) e ainda assim $\bar{y}$ é ótima (Teor. 3.10).
✗ tratar tamanho de amostra com $z_{α} = 2$ e intervalo com 1,96 sem dizer: escolha um e declare. (O livro alterna: Ex. 3.2 dá 96 com 2 e 93 com 1,96.)

Checklist de 60 segundos antes de entregar

O plano é com ou sem reposição? Pus o $(1 - f)$ onde devia, e usei $S^{2}$ (não $σ^{2}$ )?
Pedem média, total ou proporção? Para o total, multipliquei estimativa e erro padrão por $N$ .
Usei o parâmetro ( $σ^{2}$ ) onde só tinha a estimativa ( $s^{2}$ )? Em IC entra $s^{2}$ ; em planejamento entra um $S^{2}$ suposto.
No cap. 4: os pesos são $W_{h} = N_{h} / N$ , e a variância soma $W_{h}^{2}$ (ao quadrado!).
Declarei qual $z_{α}$ usei, e arredondei $n$ para cima?
Dá para conferir por outro caminho? (variância por (2.15) × enumeração; $σ_{d}^{2} + σ_{e}^{2} = σ^{2}$ ; $\sum π_{i} = n$ .)

6 · Fórmulas de bolso

objeto	fórmula	onde vale
população	$S^{2} = \frac{N}{N - 1} σ^{2}$ ; 0–1: $σ^{2} = P Q$	sempre
resultado central	$E [t] = E [f] τ$ ; $Var [t] = Var [f] N S^{2}$	simétrico, tam. fixo
EQM	$Var + B^{2}$	sempre
AASc	$Var [\bar{y}] = σ^{2} / n$ ; $E [s^{2}] = σ^{2}$	com reposição
AASs	$Var [\bar{y}] = (1 - f) S^{2} / n$ ; $E [s^{2}] = S^{2}$	$f = n / N$
total	$T = N \bar{y}$ , $Var = N^{2} Var [\bar{y}]$	expansão
IC	$\bar{y} \pm z_{α} \sqrt{(1 - f) s^{2} / n}$	$n$ grande
$n$ , média	$σ^{2} / D$ (c/rep.); $1 / (D / S^{2} + 1 / N)$	$D = B^{2} / z_{α}^{2}$
$n$ , total	$N / [N D / S^{2} + 1]$	idem
$n$ , proporção	$N / [(N - 1) D / (P Q) + 1]$ ; conservador $P Q = 1 / 4$	AASs
EPA AASs/AASc	$(N - n) / (N - 1)$	mesmo $n$
decomposição	$σ^{2} = σ_{d}^{2} + σ_{e}^{2}$	qualquer partição
estratificada	${\bar{y}}_{es} = \sum W_{h} {\bar{y}}_{h}$ , $Var = \sum W_{h}^{2} Var [{\bar{y}}_{h}]$	sorteios indep.
proporcional	$V_{pr} = σ_{d}^{2} / n$ , $n_{h} = n W_{h}$	AASc no estrato
Neyman	$n_{h} \propto W_{h} σ_{h}$ , $V_{ot} = {(\sum W_{h} σ_{h})}^{2} / n$	custos iguais
com custo	$n_{h} \propto W_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}}$	$C = c_{0} + \sum c_{h} n_{h}$
comparação	$V_{ot} ⩽ V_{pr} ⩽ V_{c}$	Teor. 4.4, (4.24)–(4.25)

Glossário de símbolos

$N$ , $n$	tamanho da população / da amostra
$D$ , $U$	vetor de valores / conjunto de rótulos
$τ$ , $μ$ , $P$	total, média, proporção (parâmetros)
$σ^{2}$ , $S^{2}$	variância com divisor $N$ / $N - 1$
$\bar{y}$ , $s^{2}$ , $p$	os mesmos, calculados na amostra
$T$ , $\hat{τ}$	estimador do total ( $N \bar{y}$ )
$f_{i}$ , $δ_{i}$	vezes que $i$ entrou / indicador de $i \in s$
$f$	fração amostral $n / N$ (cuidado: não é $f_{i}$ )
$π_{i}$ , $π_{i j}$	probabilidades de inclusão de 1ª e 2ª ordem
$B [t]$ , EQM	viés e erro quadrático médio
$B$ , $D$ , $γ$	erro máximo, $B^{2} / z_{α}^{2}$ , confiança
$h$ , $W_{h}$	índice do estrato, peso $N_{h} / N$
$σ_{d}^{2}$ , $σ_{e}^{2}$	variância dentro / entre estratos
$V_{c}$ , $V_{pr}$ , $V_{ot}$	variância da AASc / AE proporcional / ótima
EPA	efeito do plano amostral: $Var [plano] / Var [AASc]$

Em R, o mínimo que resolve a lista

D <- c(12, 30, 18); N <- length(D); n <- 2
sig2 <- mean((D - mean(D))^2); S2 <- var(D)

# enumerar o plano
Sc <- expand.grid(rep(list(1:N), n))  # AASc: N^n
Ss <- combn(N, n)                     # AASs: C(N,n)
yb <- colMeans(matrix(D[Ss], n)); m <- ncol(Ss)
c(mean(yb), var(yb) * (m-1)/m, (1-n/N) * S2/n)
## [1] 20 14 14

# IC e tamanho de amostra (AASs)
ep  <- function(y, N) {
  n <- length(y); sqrt((1 - n/N) * var(y) / n) }
ic  <- function(y, N)
  mean(y) + c(-1, 1) * qnorm(.975) * ep(y, N)
tam <- function(S2, N, B, z = qnorm(.975))
  ceiling(1 / ((B/z)^2 / S2 + 1/N))

# estratificada: pesos, variancia, alocacoes
Nh <- c(3, 5); sh2 <- c(26/3, 46/5)
W  <- Nh / sum(Nh); n <- 4
ves <- function(nh) sum(W^2 * sh2 / nh)
ney <- n * W * sqrt(sh2) / sum(W * sqrt(sh2))
c(ves(c(2, 2)), ves(n * W), ves(ney))
## [1] 2.4063 2.2500 2.2495

Condensado de Bolfarine, H.; Bussab, W. O., Elementos de Amostragem, IME-USP (2004) / Blucher (2005), capítulos 1 a 4 (págs. 1–126), para estudo pessoal. Numeração de equações e resultados igual à do livro. Todos os valores numéricos foram recalculados; as divergências com o impresso estão anotadas nas aulas longas. Desenvolvimento completo, com as demonstrações e os exercícios resolvidos: cap. 1, cap. 2, cap. 3, cap. 4.