Menu · Bolfarine & Bussab · Capítulo 3 · págs. 61–92

Amostragem aleatória simples

O primeiro plano de verdade. Tudo aqui sai de uma pergunta: quantas vezes cada unidade da população entra na amostra?

Ao final você deve saber fazer

Dizer a variância de $\bar{y}$ e de $T$ nos dois planos, de cabeça.
Montar um intervalo de confiança para média, total e proporção.
Calcular $n$ a partir de $B$ e $γ$ , nas cinco variantes.
Explicar de onde vem o fator $(1 - f)$ .
Justificar por que $\bar{y}$ é ótima, e dizer em que classe.
Comparar dois planos pelo EPA.

Como usar esta página

Um passo por vez. Cada um termina com uma pergunta — responda antes de abrir.

Os passos 2 a 7 são com reposição; 8 a 10 são sem. São a mesma conta duas vezes: se o primeiro bloco entrou, o segundo é rápido.

1 Dois sabores do mesmo sorteio

Passo 1 de 12

Todo mundo com a mesma chance. A única escolha é devolver ou não a unidade sorteada.

Essa escolha muda a variância pela metade no exemplo do capítulo. Não é detalhe.

Os dois planos na população de três domicílios,

n = 2

. Mesmo esforço de campo, metade do erro.

No exemplo

AASc. Sorteio 2 vezes entre 3 domicílios, devolvendo. Cada sequência tem chance $1 / 3^{2} = 1 / 9$ .

AASs. O mesmo, sem devolver. Sobram 3 pares: {12,30}, {12,18}, {30,18}, com 1/3 cada.

Em símbolos

AASc: $P (s) = 1 / N^{n}$ para toda sequência de tamanho $n$ .

AASs: $P (s) = 1 / \binom{N}{n}$ entre as $\binom{N}{n}$ não ordenadas.

Os dois são simétricos e de tamanho fixo — as duas hipóteses de (2.14)–(2.15).

Por que estudar a versão com reposição, se ninguém a usa

Porque as contas são mais simples e o resultado sem reposição sai do mesmo raciocínio, trocando uma distribuição. E porque, quando $n$ é minúsculo diante de $N$ , as duas coincidem na prática.

Nos dois planos, qual é a chance de um domicílio específico ser escolhido no primeiro sorteio?

$1 / N$ nos dois. O primeiro sorteio é idêntico.

A diferença aparece do segundo em diante — e é toda a diferença do capítulo.

2 Com reposição, $f_{i}$ é Binomial

Passo 2 de 12 · a única coisa nova do bloco AASc

Pergunte: quantas vezes o domicílio 2 entrou? São $n$ tentativas independentes, cada uma com chance $1 / N$ .

Isso é Binomial. E com a distribuição de $f_{i}$ na mão, (2.14)–(2.15) entregam o resto de graça.

Teorema 3.1

Na AASc, $f_{i} \sim b (n; 1 / N)$ , logo

E [f_{i}] = \frac{n}{N}, Var [f_{i}] = \frac{n}{N} (1 - \frac{1}{N})

(3.1)–(3.2)

E as probabilidades de inclusão, que agora exigem “pelo menos uma vez”:

π_{i} = 1 - {(1 - \frac{1}{N})}^{n}

(3.3)

Conferindo no exemplo

$N = 3$ , $n = 2$ :

$E [f_{i}] = 2 / 3$

$π_{i} = 1 - {(2 / 3)}^{2} = 5 / 9$

Bate com a contagem do capítulo 2: 5 das 9 amostras contêm a unidade 1. ✓

Cuidado com a diferença

$E [f_{i}] = 2 / 3 ≅ 0,67$ — número médio de vezes.

$π_{i} = 5 / 9 ≅ 0,56$ — chance de entrar ao menos uma vez.

São diferentes porque $f_{i}$ pode valer 2.

Por que na AASc

π_{i} < n / N

, enquanto na AASs os dois são iguais?

Porque $n / N = E [f_{i}]$ conta repetições. Com reposição, parte dessas “entradas” é a mesma pessoa voltando — e $π_{i}$ não conta isso duas vezes.

Sem reposição $f_{i}$ só pode ser 0 ou 1, então média e probabilidade coincidem.

3 Média, total, e o estimador expansão

Passo 3 de 12

Ponha $Var [f]$ da Binomial dentro de (2.15) e a variância da média sai em duas linhas.

Resultado: $σ^{2} / n$ . Exatamente o que você já viu em inferência — e agora com $σ^{2}$ significando a variância da lista.

De (2.15): $Var [t] = Var [f] N S^{2}$ .
Substitua: $\frac{n}{N} (1 - \frac{1}{N}) N S^{2} = \frac{n (N - 1) S^{2}}{N}$ .
Mas $(N - 1) S^{2} = N σ^{2}$ , então $Var [t] = n σ^{2}$ .
Divida por $n^{2}$ : $Var [\bar{y}] = σ^{2} / n$ . Pronto.

Média

$Var [\bar{y}] = \frac{σ^{2}}{n}$

Teorema 3.3

Total

$Var [T] = N^{2} \frac{σ^{2}}{n}$

Corolário 3.1

Ambos

$E [\bar{y}] = μ$

não viesados

Por que “expansão”

$T = N \bar{y}$ pode ser reescrito assim:

T = n \bar{y} + (N - n) \bar{y}

A primeira parcela é o que você viu. A segunda é o que você não viu — e a estimativa para ela é a mesma média.

Guarde isto. Os capítulos 5 e 6 fazem só uma coisa: trocam esse $\bar{y}$ da parte não observada por uma previsão melhor, usando uma variável auxiliar.

Uma população de 10 000 e uma de 100 têm o mesmo

σ^{2}

. Com

n = 50

e AASc, qual estimativa é mais precisa?

Igualmente precisas. $Var [\bar{y}] = σ^{2} / 50$ nas duas: $N$ não aparece.

É o resultado que surpreende todo mundo — a precisão depende de quantos você entrevista, não da fração da população. (Sem reposição, o $(1 - f)$ faz a população pequena ficar um pouco melhor — passo 8.)

4 $s^{2}$ estima $σ^{2}$ — e é por isso que o denominador é $n - 1$

Passo 4 de 12

A variância da amostra, com divisor $n - 1$ , acerta $σ^{2}$ na média.

Isso fecha o circuito: dá para estimar a variância do estimador a partir da própria amostra.

Teorema 3.4 e Corolário 3.2

s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i \in s} {(Y_{i} - \bar{y})}^{2}, E [s^{2}] = σ^{2}

(3.11)

Logo $var [\bar{y}] = s^{2} / n$ e $var [T] = N^{2} s^{2} / n$ são não viesados (3.12)–(3.13).

A demonstração é a única trabalhosa do capítulo, e vale ver de onde ela puxa as peças:

Escreva $(n - 1) s^{2} = s_{q}^{2} - t^{2} / n$ , com $s_{q}^{2} = \sum Y_{i}^{2}$ na amostra.
$E [s_{q}^{2}]$ vem de (2.18): dá $n σ^{2} + n μ^{2}$ .
$E [t^{2}]$ vem de (2.16): dá $n σ^{2} + n^{2} μ^{2}$ .
Subtraia: $E [(n - 1) s^{2}] = (n - 1) σ^{2}$ . Os termos em $μ^{2}$ cancelam.

É aqui que as duas expressões “técnicas” do capítulo 2 pagam a viagem. Se você se perguntou para que serviam (2.16) e (2.18), a resposta é: para isto.

Na AASc,

s^{2}

estima

σ^{2}

. Ele também estima

S^{2}

Não. $E [s^{2}] = σ^{2}$ , e $S^{2} = \frac{N}{N - 1} σ^{2}$ é maior.

Mas no plano sem reposição o mesmo $s^{2}$ passa a estimar $S^{2}$ (Teorema 3.9). Mesma fórmula, alvo diferente — depende do plano, como tudo neste livro.

5 O intervalo de confiança

Passo 5 de 12

Estimativa, mais ou menos $z_{α}$ erros padrão. Nada além disso.

O trabalho todo foi chegar ao erro padrão — o que os passos 3 e 4 fizeram.

Calcule $\bar{y}$ e $s^{2}$ na amostra.
Erro padrão: $\sqrt{s^{2} / n}$ .
Intervalo: $\bar{y} \pm z_{α} \sqrt{s^{2} / n}$ (3.17).
Para o total: multiplique tudo — centro e margem — por $N$ .

Exemplo 3.2 — uma AASc de

n = 10

nos três domicílios

Valores sorteados: 12, 18, 12, 18, 18, 30, 12, 12, 18, 30.

$\bar{y} = (4 \cdot 12 + 4 \cdot 18 + 2 \cdot 30) / 10 = 18$
$s^{2} = (4 \cdot 36 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 144) / 9 = 48$
erro padrão $= \sqrt{48 / 10} = 2,19$
IC de 95%: $18 \pm 1,96 \times 2,19 = 18 \pm 4,29$ → (13,71; 22,29)

Contém $μ = 20$ . ✓ Repare que $s^{2} = 48$ ficou abaixo de $σ^{2} = 56$ — é uma amostra só; o não viés é sobre a média de todas.

y <- c(12, 18, 12, 18, 18, 30, 12, 12, 18, 30)
c(mean(y), var(y))
## [1] 18 48
mean(y) + c(-1, 1) * 1.96 * sqrt(var(y) / 10)
## [1] 13.70586 22.29414

O que significa “95% de confiança”? Que

μ

tem 95% de chance de estar em (13,71; 22,29)?

Não. $μ = 20$ é constante: ou está no intervalo (está) ou não está.

A probabilidade é do procedimento, antes de sortear: em 95% das amostras possíveis, o intervalo construído assim contém $μ$ . Nas outras 5% não — e você não tem como saber em qual caiu.

6 Quantos elementos sortear

Passo 6 de 12

Você escolhe o erro máximo $B$ e a confiança. A fórmula devolve $n$ .

O único ingrediente difícil é $σ^{2}$ , que você ainda não conhece.

Exija $P (| \bar{y} - μ | ⩽ B) ≃ γ$ (3.18).
Isso equivale a $B = z_{α} σ / \sqrt{n}$ (3.19)–(3.20).
Defina $D = B^{2} / z_{α}^{2}$ e resolva: $n = σ^{2} / D$ (3.21).
Arredonde para cima.

De onde tirar

σ^{2}

antes de ter a amostra

Amostra piloto — a saída mais honesta.
Pesquisa anterior na mesma população.
Amplitude/4 — se ~95% da população cai num intervalo de comprimento $L$ , tome $σ ≅ L / 4$ . Vale para populações aproximadamente simétricas.

Continuando o Exemplo 3.2

Quero erro máximo $B = \sqrt{2}$ com $γ = 0,95$ , usando $s^{2} = 48$ como palpite:

D = \frac{2}{2^{2}} = 0,5, n = \frac{48}{0,5} = 96

96 é maior que $N = 3$ . Não é erro de conta: com reposição não existe teto. Você pode sortear 96 vezes numa população de três, e a variância $σ^{2} / 96$ continua positiva.

O livro usa $z_{α} \approx 2$ nos tamanhos e 1,96 nos intervalos. Com 1,96 aqui daria $n = 93$ . Declare qual usou.

Você quer cortar o erro máximo pela metade. Quanto

n

precisa crescer?

Quatro vezes. $D = B^{2} / z_{α}^{2}$ , então metade de $B$ é um quarto de $D$ , e $n = σ^{2} / D$ quadruplica.

É a mesma $\sqrt{n}$ do exemplo eleitoral do capítulo 1: 100 → 400 → 1600 cortou a margem pela metade a cada passo.

7 Proporções são o mesmo com $Y_{i}$ valendo 0 ou 1

Passo 7 de 12

Nenhuma teoria nova. Só uma substituição: $σ^{2} = P Q$ .

E uma facilidade: $P Q ⩽ 1 / 4$ sempre, o que permite planejar sem saber nada.

A substituição

Se $Y_{i}$ é 0/1, então $Y_{i}^{2} = Y_{i}$ , e

σ^{2} = P (1 - P) = P Q

(3.22)

A média amostral vira a proporção amostral $p = m / n$ .

Teorema 3.5

Var [\hat{P}] = \frac{P Q}{n}

(3.24)

var [p] = \frac{\hat{P} \hat{Q}}{n - 1}

Repare no $n - 1$ do estimador — vem de $s^{2} = \frac{n}{n - 1} p q$ (3.23).

$\hat{P} \pm z_{α} \sqrt{\frac{\hat{P} \hat{Q}}{n - 1}}$

(3.25)

Tamanho

$n = \frac{P Q}{D}$

(3.27)

Conservador

$n = \frac{1}{4 D}$

usa $P Q = 1 / 4$

Exemplo 3.3 — quando

n

é pequeno demais

Na amostra do Exemplo 3.2, dois dos dez valores passam de 18: $p = 0,2$ .

0,2 \pm 1,96 \sqrt{\frac{0,2 \times 0,8}{9}} = 0,2 \pm 0,26

Dá (−0,06; 0,46), que o livro imprime truncado em (0,00; 0,46). Um intervalo que vai de zero a quase metade não informa nada — e o limite negativo denuncia a causa: com $n = 10$ a aproximação normal não vale para proporção pequena.

Por que o

n

conservador usa

P Q = 1 / 4

, e não algum outro valor?

Porque $P (1 - P)$ é máximo em $P = 0,5$ , onde vale $0,25$ .

Usando o máximo, o $n$ que sai é suficiente qualquer que seja $P$ . Você paga em amostra a mais pela ignorância — mas nunca fica aquém da precisão prometida.

8 Sem reposição: onde nasce o $(1 - f)$

Passo 8 de 12 · o passo que explica o capítulo inteiro

Sem reposição, $f_{i}$ só pode ser 0 ou 1. Deixa de ser Binomial e vira Bernoulli.

Troque a variância de uma pela da outra em (2.15) e o fator de correção aparece sozinho.

Teorema 3.7

Na AASs, $f_{i} = δ_{i} \sim b (1; n / N)$ , e

E [f_{i}] = \frac{n}{N}, Var [f_{i}] = \frac{n}{N} (1 - \frac{n}{N}), π_{i} = \frac{n}{N}

Agora ponha lado a lado. É a única diferença entre os dois planos:

Nenhuma mágica: o

(1 - f)

é só o que sobra quando

f_{i}

troca de distribuição.

Fator de correção para populações finitas

$(1 - f) = (N - n) / N$ , com $f = n / N$ a fração amostral.

$n = N$ (censo): o fator é 0 e a variância zera — como deve ser.
$n ≪ N$ : o fator é ≈ 1 e os dois planos coincidem. É comum ignorá-lo quando $f < 0,05$ .

Nos exemplos deste capítulo $f$ vale 2/3 (três domicílios) ou 1/36 (os operários) — em um o fator é decisivo, no outro quase irrelevante.

Numa população de 200 000 eleitores,

n = 2000

. Vale a pena carregar o

(1 - f)

$f = 0,01$ , então $(1 - f) = 0,99$ e o erro padrão cai $\sqrt{0,99} ≅ 0,995$ — meio por cento.

Não faz diferença prática. É por isso que pesquisa eleitoral não pergunta o tamanho do eleitorado: com $f$ pequeno, só $n$ importa.

9 Os estimadores sem reposição

Passo 9 de 12

As mesmas fórmulas dos passos 3 e 4, com duas trocas: entra $(1 - f)$ , e $σ^{2}$ vira $S^{2}$ .

O mesmo $s^{2}$ continua servindo — só muda o que ele estima.

Teoremas 3.8 e 3.9, Corolários 3.3 a 3.5 — tudo o que muda está em negrito.
	AASc (passos 3–4)	AASs (aqui)
$E [\bar{y}]$	$μ$	$μ$
$Var [\bar{y}]$	$σ^{2} / n$	$(1 - f) S^{2} / n$
$Var [T]$	$N^{2} σ^{2} / n$	$N^{2} (1 - f) S^{2} / n$
$E [s^{2}]$	$σ^{2}$	$S^{2}$
estimador da variância	$s^{2} / n$	$(1 - f) s^{2} / n$
$π_{i}$	$1 - {(1 - 1 / N)}^{n}$	$n / N$
$Cov [y_{i}, y_{j}]$	0 (independentes)	$- S^{2} / N$

Exemplo 3.4 — as seis amostras ordenadas de

D = (12, 30, 18)

Sem reposição há três pares, cada um aparecendo em duas ordens. Agora quem manda é $S^{2} = 84$ :

par	$\bar{y}$	$s^{2}$	prob.
{12, 18}	15	18	1/3
{12, 30}	21	162	1/3
{30, 18}	24	72	1/3

$E [\bar{y}] = (15 + 21 + 24) / 3 = 20 = μ$ ✓
$Var [\bar{y}] = (25 + 1 + 16) / 3 = 14$
Confira: $(1 - \frac{2}{3}) \frac{84}{2} = 14$ ✓
$E [s^{2}] = (18 + 162 + 72) / 3 = 84 = S^{2}$ ✓ (na AASc esse mesmo $s^{2}$ dava 56)

Y <- c(12, 30, 18)
p <- combn(3, 2)                    # os 3 pares
yb <- colMeans(matrix(Y[p], 2)); s2 <- apply(matrix(Y[p], 2), 2, var)
c(mean(yb), mean((yb - 20)^2), mean(s2))
## [1] 20 14 84

Por que na AASs os

y_{i}

têm covariância negativa?

Porque se a primeira posição trouxe o valor alto, ele já não está disponível para a segunda. Tirar um valor grande do bolo empurra os outros para baixo.

Essa dependência é justamente o que reduz a variância da média — e é o motivo de o Teorema 3.6 (que supõe independência) precisar de uma versão própria, o Teorema 3.10.

10 Tamanho da amostra e proporções, sem reposição

Passo 10 de 12

Aqui o $n$ ganha um teto: o censo.

O truque é escrever $Var [\bar{y}] = S^{2} / n^{'}$ e inverter.

Ponha $n^{'} = n / (1 - f)$ : a variância fica com a cara da AASc.
A conta da AASc dá $n^{'} = S^{2} / D$ .
Inverta $n^{'} = n / (1 - n / N)$ para isolar $n$ .

Média

$n = \frac{1}{\frac{D}{S^{2}} + \frac{1}{N}}$

Total

$n = \frac{N}{\frac{D}{N S^{2}} + 1}$

(3.29)

Proporção

$n = \frac{N}{\frac{(N - 1) D}{P Q} + 1}$

(3.34)

O termo $1 / N$ é o teto. Ele garante $n < N$ sempre — ao contrário do passo 6, onde 96 > 3 era possível. Faz sentido: sem reposição, o máximo que se pode fazer é o censo, e aí o erro é zero.

Exemplos 3.5 a 3.7 — 1 000 operários de 36 000

Faltas não justificadas em 6 meses. Da amostra: $\bar{y} = 1,296$ , $s^{2} = 2,397$ , $f = 1 / 36$ .

Erro padrão: $\sqrt{\frac{35}{36} \times \frac{2,397}{1000}} = 0,0483$
IC da média: $1,296 \pm 1,96 \times 0,0483$ → (1,201; 1,391) faltas por operário
Total: $T = 36000 \times 1,296 = 46656$ ; IC (43 250; 50 062) — é o IC da média vezes $N$
Quantos para $B = 0,05$ ? Com $z_{α} \approx 2$ , $D = 0,000625$ e $n ≅ 3466$
Proporção com mais de 3 faltas: 88 em 1 000, $p = 0,088$ , IC (0,071; 0,105); para $B = 0,01$ , $n ≅ 2948$

Repare no item 4: o termo $1 / N = 0,0000278$ é dez por cento do outro termo. Numa população de 36 mil, corrigir ou não por finitude quase não muda $n$ .

Você calcula

n = 4500

para uma população de

N = 3000

. O que deu errado?

Você usou a fórmula com reposição. Sem reposição isso é impossível: $n < N$ sempre.

Refaça com $n = 1 / (D / S^{2} + 1 / N)$ . Se ainda der perto de 3 000, a resposta honesta é: faça o censo, porque a precisão pedida exige quase toda a população.

11 $\bar{y}$ é o melhor que existe — dentro de uma classe

Passo 11 de 12

Entre os estimadores que são médias ponderadas dos valores observados e acertam $μ$ na média, nenhum bate a média simples.

Vale nos dois planos. E a ressalva — “dentro de uma classe” — é o que abre os capítulos 5 e 6.

Definição 3.1 e Lema 3.1

Linear: ${\bar{y}}_{s ℓ} = \sum ℓ_{i} y_{i}$ , com os $ℓ_{i}$ escolhidos antes de ver os dados.

Não viesado ⟺ $\sum ℓ_{i} = 1$ .

$\bar{y}$ é o caso $ℓ_{i} = 1 / n$ .

Teoremas 3.6 e 3.10

Com reposição ( $y_{i}$ independentes):

Var = σ^{2} {\sum_{i} {(ℓ_{i} - \frac{1}{n})}^{2} + \frac{1}{n}}

(3.28)

Sem reposição (com covariância):

Var = S^{2} (\sum_{i} ℓ_{i}^{2} - \frac{1}{N})

(3.35)

Nos dois casos a conta é minimizada quando todos os $ℓ_{i}$ são iguais. Em (3.28) é óbvio: o primeiro termo é uma soma de quadrados, e some quando $ℓ_{i} = 1 / n$ . Em (3.35) a peça variável é $\sum ℓ_{i}^{2}$ , mínima sob $\sum ℓ_{i} = 1$ quando todos coincidem.

Onde o “melhor” acaba

A otimalidade é dentro da classe linear. Fora dela existem estimadores melhores — quando você tem informação auxiliar.

Exemplo concreto: se você conhece o número total de trabalhadores da população, dá para usar isso e bater $\bar{y}$ . É o estimador razão do capítulo 5, e o regressão do 6.

Um colega propõe dar peso 2/n às cinco primeiras observações e 0 às outras

n / 2

. É não viesado?

Depende dos números, mas o critério é só um: $\sum ℓ_{i} = 1$ . Se ele usa $n / 2$ observações com peso $2 / n$ cada, a soma dá 1 — então sim, é não viesado.

Mas é pior: pesos desiguais aumentam $\sum ℓ_{i}^{2}$ . Jogar fora metade da amostra dobra a variância — sem ganhar nada.

12 EPA — quanto custa repor

Passo 12 de 12

Para comparar dois planos, divida as variâncias. Esse número tem nome: efeito do planejamento.

Entre AASs e AASc ele vale $(N - n) / (N - 1)$ — e cai em linha reta.

EPA = \frac{{Var}_{plano} [\bar{y}]}{{Var}_{AASc} [\bar{y}]}, EPA [AASs] = \frac{N - n}{N - 1}

Linear em

n

. Sortear 5% da população economiza 5% de variância; sortear metade economiza metade.

EPA < 1

o plano é melhor que a AASc

EPA = 1

tanto faz

EPA > 1

o plano é pior — acontece, e o capítulo 4 mostra quando

Uma condição para o EPA fazer sentido: os dois estimadores têm de ser não viesados. Se um for viesado, compare EQM, não variância.

Para onde o EPA vai

No capítulo 4 ele mede o ganho da estratificação: $1 - σ_{e}^{2} / σ^{2}$ , e no Exemplo 4.1 vale 0,40.

No capítulo 7 ele mede a perda dos conglomerados — lá o EPA costuma passar de 1, e o que se compra em troca é custo de campo.

Numa população de 6,

n = 2

. Qual o EPA da AASs? E confere com os 28 e 14 do exemplo dos três domicílios?

$(6 - 2) / (6 - 1) = 0,8$ .

Nos três domicílios era $(3 - 2) / (3 - 1) = 1 / 2$ — e de fato $14 / 28 = 0,5$ . ✓

Com $N = 6$ o ganho é menor, porque a fração amostral caiu de 2/3 para 1/3.

✓ Fecho — agora feche a página

Escreva o capítulo de memória, de uma vez só

Papel, aba fechada, tudo o que lembrar — não passo por passo. Escrever o texto inteiro de uma vez lembra menos na hora e mais dois dias depois, e sai mais organizado.

Depois confira. O que não apareceu, releia só aquele passo.

AASc e AASs: mesma chance para todos; muda só devolver ou não.
Com reposição, $f_{i}$ é Binomial $(n, 1 / N)$ .
$Var [\bar{y}] = σ^{2} / n$ ; $T = N \bar{y}$ é o estimador expansão.
$E [s^{2}] = σ^{2}$ na AASc — via (2.16) e (2.18).
IC: estimativa $\pm z_{α}$ erros padrão; para o total, multiplique tudo por $N$ .
$D = B^{2} / z_{α}^{2}$ e $n = σ^{2} / D$ ; sem teto.
Proporção: $σ^{2} = P Q$ ; conservador usa 1/4.
Sem reposição, $f_{i}$ é Bernoulli — daí o $(1 - f)$ .
Na AASs entra $S^{2}$ , e o mesmo $s^{2}$ passa a estimá-lo.
Agora $n < N$ sempre: o termo $1 / N$ é o teto.
$\bar{y}$ é ótima entre os lineares não viesados, com e sem independência.
EPA da AASs $= (N - n) / (N - 1)$ .

Se travou em algum item

Volte ao passo e refaça só a checagem, sem reler. Acertando, o problema era acesso e não entendimento.

Os itens 2 e 8 são o par mais importante: se você souber dizer qual distribuição $f_{i}$ tem em cada plano, todo o resto se reconstrói.

+ Exercícios resolvidos

Depois do fecho · treze exercícios, com a resposta comentada

Escolhi os que exercitam cada ideia uma vez: enumerar $S_{AASs}$ e $S_{AASc}$ numa população de seis (3.1 e 3.2), o IC e o tamanho de amostra com fator de finitude (3.4), dois estimadores “ajeitados” que batem $\bar{y}$ ou não (3.5 com 3.41, e 3.6), a informação extra do segundo dentista (3.7), amostras reais da Tabela 2.8 com e sem reposição (3.9), a proporção numa população de seis (3.11), total de livros (3.16), os tamanhos de amostra para erro padrão, para $N$ finito e para CV (3.17 e 3.18), a sugestão das 12 prateleiras (3.25) e os domicílios com idosos (3.27). Os teóricos 3.30 e 3.33 estão demonstrados no corpo da aula (Teoremas 3.7 e 3.9).

Exercício 3.1 — $D = (8, 2, 2, 11, 4, 7)$ , AASs com $n = 2$

(a) Distribuição de $\bar{y}$ ; mostre que $E [\bar{y}] = μ$ . (b) Mostre que $Var [\bar{y}]$ é a do Corolário 3.4. (c) Distribuição de $s^{2}$ ; mostre que $E [s^{2}] = S^{2}$ .

População: $τ = 34$ , $μ = 17 / 3 \approx 5,667$ , $S^{2} = 196 / 15 \approx 13,07$ , $σ^{2} = 98 / 9 \approx 10,89$ . As 15 amostras não ordenadas têm 1/15 cada.

$\bar{y}$	2	3	4,5	5	5,5	6	6,5	7,5	9	9,5
nº de amostras (×1/15)	1	2	2	2	1	1	2	2	1	1

(a) $E [\bar{y}] = (2 + 6 + 9 + 10 + 5,5 + 6 + 13 + 15 + 9 + 9,5) / 15 = 85 / 15 = 17 / 3 = μ$ . ✓ (b) $Var [\bar{y}] = E [{\bar{y}}^{2}] - μ^{2} = 196 / 45 \approx 4,356$ , e o Corolário 3.4 dá $(1 - 2 / 6) (196 / 15) / 2 = 196 / 45$ . ✓ (c) Com $n = 2$ , $s^{2} = {(Y_{a} - Y_{b})}^{2} / 2$ : vale 0 (par {2, 2}), 0,5, 2 (×2), 4,5 (×2), 8 (×2), 12,5 (×2), 18 (×2), 24,5, 40,5 (×2), e $E [s^{2}] = 196 / 15 = S^{2}$ . ✓

D <- c(8, 2, 2, 11, 4, 7); S <- combn(6, 2)          # 15 amostras, 1/15 cada
ybar <- colMeans(matrix(D[S], 2)); s2 <- apply(matrix(D[S], 2), 2, var)
table(ybar)
## ybar
##   2   3 4.5   5 5.5   6 6.5 7.5   9 9.5
##   1   2   2   2   1   1   2   2   1   1
c(mean(ybar), mean(D), var(ybar) * 14 / 15, (1 - 2/6) * var(D) / 2, mean(s2), var(D))
## [1]  5.666667  5.666667  4.355556  4.355556 13.066667 13.066667

Exercício 3.2 — a mesma população com AASc

(a) Distribuição de $\bar{y}$ e $E [\bar{y}] = μ$ . (b) $Var [\bar{y}]$ direto e por (3.9). (c) Uma AASc de $n = 10$ deu $\bar{y} = 5,435$ e $s^{2} = 3,6$ ; IC para $μ$ com $α = 0,02$ .

(a)–(b) Agora são 36 amostras ordenadas, 1/36 cada, e $\bar{y}$ toma 14 valores (de 2, na amostra (2,2)… melhor: nos pares {2,2}, {2,3}, {3,2}, {3,3}, 4 amostras, até 11, só em (4,4)). A enumeração dá $E [\bar{y}] = 17 / 3$ e $Var [\bar{y}] = 49 / 9 \approx 5,444$ ; por (3.9), $σ^{2} / 2 = (98 / 9) / 2 = 49 / 9$ . ✓ Contra os 196/45 = 4,356 da AASs: EPA = $(6 - 2) / 5 = 0,8$ , e de fato $4,356 / 5,444 = 0,8$ .

(c) $α = 0,02$ → $z_{α} = 2,326$ . IC: $5,435 \pm 2,326 \sqrt{3,6 / 10} = 5,435 \pm 1,396$ , ou (4,04; 6,83). Contém $μ = 5,67$ . (Uma amostra de 10 com reposição de 6 elementos tem quase certamente repetições — Exercício 3.43: a chance de não repetir é $6 \cdot 5 \dots 1 \cdot 0 / 6^{10} = 0$ , pois $n > N$ .)

S <- expand.grid(1:6, 1:6); ybar <- (D[S[, 1]] + D[S[, 2]]) / 2   # 36 amostras
c(mean(ybar), mean((ybar - mean(D))^2), var(D) * 5 / 6 / 2)
## [1] 5.666667 5.444444 5.444444
5.435 + c(-1, 1) * qnorm(0.99) * sqrt(3.6 / 10)
## [1] 4.039191 6.830809

Exercício 3.4 (com 3.13) — pessoas por residência: AASs de 30 em 14 848

Amostra: 5, 6, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 3, 2, 7, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 3, 3, 1, 2, 4, 3, 4, 2, 4. (a) Estime $μ$ e a variância da estimativa. (b) IC de 90%. (c) Tamanho para uma estimativa duas vezes mais precisa. (3.13) Probabilidade aproximada de o total estimado errar por no máximo 100 pessoas; e de a porcentagem de domicílios com mais de dois residentes errar por no máximo 1%.

(a) $\bar{y} = 104 / 30 = 3,467$ pessoas, $s^{2} = 1,499$ , $f = 30 / 14848 = 0,002$ (desprezível): $var [\bar{y}] = (1 - f) 1,499 / 30 = 0,0499$ , erro padrão 0,223. (b) $3,467 \pm 1,645 \times 0,223$ = (3,10; 3,83). (c) “Duas vezes mais precisa” = metade do erro padrão = um quarto da variância. Como $Var \propto 1 / n$ (o fator de finitude é ≈ 1), $n \approx 4 \times 30 = 120$ ; com a correção exata, $n = 1 / (D / s^{2} + 1 / N)$ com $D = 0,0499 / 4$ dá 119,3 → 120.

(3.13a) $T = 14848 \times 3,467 = 51473$ pessoas, com erro padrão $14848 \times 0,223 = 3315$ . Errar por no máximo 100 pessoas é $| Z | ⩽ 100 / 3315 = 0,030$ : probabilidade $2 Φ (0,030) - 1 \approx 0,024$ . Praticamente nula — 100 pessoas em 51 mil é uma precisão de 0,2%, que 30 domicílios não dão. (3.13b) Mais de dois residentes: 25 dos 30, $p = 0,833$ , erro padrão $\sqrt{0,833 \times 0,167 / 29} = 0,069$ ; $| Z | ⩽ 0,01 / 0,069 = 0,145$ → probabilidade ≈ 0,115. Também baixa. A lição: com $n = 30$ a pergunta certa é “qual erro consigo?”, não “qual a chance de errar pouco?”.

d <- c(5,6,3,3,2,3,3,3,4,4,3,2,7,4,3,5,4,4,3,3,4,3,3,1,2,4,3,4,2,4)
N <- 14848; n <- 30; f <- n / N
v <- (1 - f) * var(d) / n
round(c(mean(d), var(d), v, sqrt(v)), 4)
## [1] 3.4667 1.4989 0.0499 0.2233
round(mean(d) + c(-1, 1) * qnorm(0.95) * sqrt(v), 3)          # (b)
## [1] 3.099 3.834
1 / ((v / 4) / var(d) + 1 / N)                                # (c)
## [1] 119.277
2 * pnorm(100 / (N * sqrt(v))) - 1                            # 3.13 (a)
## [1] 0.02406173

Exercícios 3.5 e 3.41 — o estimador “corrigido” ${\bar{y}}_{c}$

$N = 6$ , $D = (1, 4, 5, 5, 6, 6)$ , AASs com $n = 2$ . Estimador: ${\bar{y}}_{c} = \bar{y} + 1$ se a amostra contém a unidade 1 e não a 6; $\bar{y} - 1$ se contém a 6 e não a 1; $\bar{y}$ caso contrário. (a) Distribuições de $\bar{y}$ e ${\bar{y}}_{c}$ ; são não viesados? (b) Variâncias; qual é melhor? (3.41) Verifique $Var [{\bar{y}}_{c}] = (1 - f) {S^{2} / n - \frac{2 c}{N - 1} (Y_{N} - Y_{1} - n c)}$ .

População: $μ = 4,5$ , $S^{2} = 3,5$ . A ideia do estimador: a unidade 1 é atipicamente baixa e a 6 atipicamente alta; quando só uma delas entra, a média fica puxada, e o ajuste de ±1 compensa. Nas 15 amostras, $\bar{y}$ vai de 2,5 a 6 e ${\bar{y}}_{c}$ de 3,5 a 5,5:

valor	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6
$\bar{y}$ (×1/15)	1	2	2	—	2	3	4	1
${\bar{y}}_{c}$ (×1/15)	—	—	2	3	5	3	2	—

(a) Os dois têm esperança $9 / 2 = μ$ : ambos não viesados. (O ajuste +1 ocorre em 4 amostras — {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5} — e o −1 em outras 4 — {2,6}, {3,6}, {4,6}, {5,6}; por simetria as correções se cancelam na esperança, seja qual for $c$ .) (b) $Var [\bar{y}] = 7 / 6 \approx 1,167$ (= $(1 - 1 / 3) 3,5 / 2$ ) e $Var [{\bar{y}}_{c}] = 11 / 30 \approx 0,367$ — três vezes menor. ${\bar{y}}_{c}$ é melhor. Isso não contradiz o Teorema 3.10: ${\bar{y}}_{c}$ não é linear nos $y_{i}$ com pesos constantes — os pesos dependem de quais unidades caíram — e usa informação sobre a população (saber que $Y_{1}$ é pequeno e $Y_{6}$ grande). É a semente dos estimadores que usam variável auxiliar.

(3.41) Com $c = 1$ , $n = 2$ , $Y_{N} - Y_{1} = 5$ : $(2 / 3) {3,5 / 2 - (2 / 5) (5 - 2)} = (2 / 3) (1,75 - 1,2) = 11 / 30$ . ✓ A fórmula diz que ${\bar{y}}_{c}$ ganha de $\bar{y}$ sempre que $0 < c < (Y_{N} - Y_{1}) / n = 2,5$ , com o ganho máximo em $c = 1,25$ .

Exercício 3.6 — um estimador que fixa os extremos

Na população do 3.5, ${\bar{y}}_{s t} = (y_{1} + {\bar{y}}_{s 2} + y_{6}) / 3$ , em que ${\bar{y}}_{s 2}$ é a média de uma AASs de 2 entre {2, 3, 4, 5}. Encontre $Var [{\bar{y}}_{s t}]$ .

Só ${\bar{y}}_{s 2}$ é aleatória: 6 pares de {4, 5, 5, 6}, com médias 4,5, 4,5, 5, 5, 5,5, 5,5 → $Var [{\bar{y}}_{s 2}] = 1 / 6$ (ou pela fórmula: $S^{2}$ de {4,5,5,6} é 2/3, e $(1 - 2 / 4) (2 / 3) / 2 = 1 / 6$ ). Logo $Var [{\bar{y}}_{s t}] = (1 / 6) / 9 = 1 / 54 \approx 0,019$ — minúscula, porque observa 4 das 6 unidades e as duas extremas com certeza. Mas atenção: $E [{\bar{y}}_{s t}] = (1 + 5 + 6) / 3 = 4 \neq 4,5$ : é viesado, porque dá peso 1/3 a cada “estrato” quando os estratos têm 1, 4 e 1 unidades. O não viesado seria $(Y_{1} + 4 {\bar{y}}_{s 2} + Y_{6}) / 6$ , com variância $(4 / 6)^{2} (1 / 6) = 2 / 27$ — é exatamente o ${\bar{y}}_{e s}$ do capítulo 4, e o erro de pesos é o estimador ${\bar{y}}_{m}$ do Exercício 4.27.

Exercício 3.7 — dois dentistas e 200 crianças

D1 examina uma AASs de 20 crianças e conta dentes cariados: 0 (8 crianças), 1 (4), 2 (2), 3 (2), 4 (1), 5 (1), 9 (1), 10 (1). D2 examina todas as 200 e só anota se há cárie: 60 não têm nenhuma. Estime o total de dentes cariados (i) só com D1; (ii) com D1 e D2. (a) Qual é mais precisa? (b) Dá para estimar a variância?

(i) $\bar{y} = 42 / 20 = 2,1$ dentes por criança, $T = 200 \times 2,1 = 420$ ; $s^{2} = 8,62$ , erro padrão $200 \sqrt{(1 - 0,1) 8,62 / 20} = 124,6$ .

(ii) D2 revela que $140$ crianças têm cárie e 60 não. As 60 contribuem zero com certeza; o total é $τ = 140 μ_{c}$ , em que $μ_{c}$ é a média entre as que têm cárie. Na amostra de D1, 12 crianças têm cárie, com média $42 / 12 = 3,5$ : $\hat{τ} = 140 \times 3,5 = 490$ . As 12 são (condicionalmente ao seu número) uma AASs das 140 cariadas, então $s^{2} = 9,55$ e o erro padrão é $140 \sqrt{(1 - 12 / 140) 9,55 / 12} = 119,4$ .

(a) A (ii) é um pouco mais precisa (119 contra 125) e, mais importante, usa a informação de D2 para corrigir a proporção: a amostra de D1 tinha 60% com cárie, a população tem 70% — daí 490 contra 420. É a lógica da pós-estratificação (e do estimador razão do cap. 5: $\hat{τ} = X \cdot \bar{y} / \bar{x}$ com $X = 140$ crianças cariadas conhecidas). (b) Sim, como acima; em (ii) a variância é condicional a terem caído 12 cariadas na amostra — o que é o procedimento padrão da pós-estratificação, com um termo extra pequeno se se quiser levar em conta a aleatoriedade do 12.

Exercício 3.9 — amostras da Tabela 2.8, com e sem reposição

Da população de 180 condomínios ( $Y$ = apartamentos alugados): (a) selecione AASc de tamanhos 10 e 20 e construa IC de 95% para $μ$ ; (b) com a de 20, o tamanho para uma estimativa duas vezes mais precisa; (c) estimativa pontual e por intervalo para a proporção de condomínios com mais de 3 [apartamentos alugados], e o tamanho para dobrar a precisão; (d) refaça com AASs.

O que se sabe e o exercício finge não saber: $μ = 18,68$ , $σ^{2} = 407,5$ , $S^{2} = 409,7$ , $P (Y > 3) = 133 / 180 = 0,739$ . Sorteei os índices com reposição (semente 2004 em Python; os índices estão no código, então tudo abaixo é reproduzível):

# Y: o vetor de 180 valores do Exercício 2.2 (cap. 2)
i10 <- c(53, 89, 99, 116, 120, 125, 128, 137, 165, 174)
i20 <- c(1, 6, 10, 13, 17, 25, 31, 34, 63, 68, 83, 99, 105, 110, 111, 112,
         127, 128, 129, 148)
ic <- function(y, N = Inf) {                      # N = Inf: com reposição; N = 180: sem
  n <- length(y); ep <- sqrt((1 - n / N) * var(y) / n)
  round(c(ybar = mean(y), s2 = var(y), ep = ep, mean(y) + c(-1, 1) * 1.96 * ep), 2)
}
ic(Y[i10]); ic(Y[i20])                            # (a) AASc
##  ybar    s2    ep
##  7.30 34.01  1.84  3.69 10.91
##   ybar     s2     ep
##  20.25 323.99   4.02  12.36  28.14
ic(Y[i10], 180); ic(Y[i20], 180)                  ## (d) AASs
##  ybar    s2    ep
##  7.30 34.01  1.79  3.79 10.81
##   ybar     s2     ep
##  20.25 323.99   3.79  12.81  27.69
p <- mean(Y[i20] > 3); ep <- sqrt(p * (1 - p) / 19); round(c(p, ep, p + c(-1, 1) * 1.96 * ep), 3)
## [1] 0.850 0.082 0.689 1.011

(a) A amostra de 20 dá (12,4; 28,1), que contém $μ$ . A de 10 dá (3,7; 10,9), que não contém $μ = 18,7$ : o sorteio caiu em 10 condomínios pequenos (a tabela está grosso modo ordenada e os índices sorteados ficaram todos acima de 50). Não é erro de conta — é o que “95% de confiança” significa: 5% dos intervalos erram, e com $n = 10$ numa população tão assimétrica ( $S^{2} = 410$ para uma média de 19) a aproximação normal ainda é ruim e a taxa real de erro passa dos 5%. (b) Metade do erro padrão: $4 \times 20 = 80$ na AASc; na AASs, $n = 1 / (D / s^{2} + 1 / 180)$ com $D = {3,79}^{2} / 4$ dá exatamente 60. (c) $p = 17 / 20 = 0,85$ , IC (0,69; 1,01) — truncado em 1; a AASs encolhe o erro padrão para 0,077. Dobrar a precisão: 80 (AASc) ou 58 (AASs). (d) Os erros padrão sem reposição são $\sqrt{1 - f}$ vezes os com reposição: $\sqrt{0,944} = 0,97$ para $n = 10$ e $\sqrt{0,889} = 0,94$ para $n = 20$ — pouco, porque $f$ é pequeno.

Exercício 3.11 — proporção numa população de seis, AASs com $n = 4$

$D = (0, 0, 1, 1, 1, 1)$ . (a) Distribuição de $\bar{y}$ ; é não viesado para $P$ ? (b) Sugira um estimador de $Var [\bar{y}]$ e verifique se é não viesado.

(a) $P = 2 / 3$ . Das 15 amostras de 4, o número de “uns” é hipergeométrico: 2 uns (as duas zeros na amostra) em $(\binom{2}{2}) (\binom{4}{2}) = 6$ amostras, 3 uns em $2 \times 4 = 8$ , 4 uns em 1. Logo $\bar{y}$ vale 0,5, 0,75, 1 com probabilidades 6/15, 8/15, 1/15, e $E [\bar{y}] = (3 + 6 + 1) / 15 = 2 / 3 = P$ . ✓ $Var [\bar{y}] = 1 / 45$ ; pela fórmula, $(1 - 4 / 6) S^{2} / 4$ com $S^{2} = \frac{6}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{15}$ : $(1 / 3) (4 / 15) / 4 = 1 / 45$ . ✓

(b) O da seção 5.5: $var [p] = (1 - f) p q / (n - 1) = p q / 9$ . Vale $1 / 36$ (p = 0,5), $1 / 48$ (0,75) e 0 (p = 1); esperança $\frac{6}{15} \cdot \frac{1}{36} + \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{48} = \frac{1}{90} + \frac{1}{90} = \frac{1}{45}$ . Não viesado, como o Corolário 3.5 garante — e note que na amostra com $p = 1$ o estimador dá variância zero, um lembrete de que “não viesado” é propriedade da média sobre as amostras, não de cada uma.

Exercício 3.16 — quantos livros de Estatística há nas 130 prateleiras?

AAS de 15 prateleiras: 28, 25, 23, 33, 31, 18, 22, 29, 30, 22, 26, 20, 21, 28, 25. (a) IC para o total $T$ . (b) Tamanho para que, com 95%, o erro em $T$ seja inferior a 100 livros.

(a) $\bar{y} = 25,4$ , $s^{2} = 19,26$ , $f = 15 / 130$ . $T = 130 \times 25,4 = 3302$ livros, erro padrão $130 \sqrt{(1 - 0,115) 19,26 / 15} = 138,5$ , IC de 95% (3 030; 3 574). (b) Por (3.29) com $D = {(100 / 1,96)}^{2} = 2603$ e $s^{2}$ no lugar de $S^{2}$ : $n = 130 / [2603 / (130 \times 19,26) + 1] = 63,7$ → 64 prateleiras, quase metade da seção. Sem a correção de finitude seriam $N^{2} s^{2} / D = 125$ — quase o censo; é o caso em que o bom senso do capítulo 1 (“se pede mais da metade, faça o censo”) começa a valer.

b <- c(28, 25, 23, 33, 31, 18, 22, 29, 30, 22, 26, 20, 21, 28, 25); N <- 130; n <- 15
Tt <- N * mean(b); ep <- N * sqrt((1 - n / N) * var(b) / n)
round(c(Tt, ep, Tt + c(-1, 1) * 1.96 * ep))
## [1] 3302  139 3030 3574
D <- (100 / 1.96)^2; N / (D / (N * var(b)) + 1)
## [1] 63.73153

Exercícios 3.17 e 3.18 — erro padrão, população finita e coeficiente de variação

(3.17) Renda média de Pepira ≈ 10 SM, desvio padrão ≈ 5 SM. (a) Tamanho para erro padrão de $\bar{y}$ igual a 0,5; suposições? (b) E se $N = 20000$ ? $N = 1000$ ? (c) Tamanho para $CV [\bar{y}] < 5 %$ . (3.18) Duas doenças, incidências ≈ 50% e ≈ 1%. Tamanho para erro padrão de 0,5% em cada caso; e para CV de 5%. Que lição fica?

(3.17a) $EP = σ / \sqrt{n} = 0,5$ → $n = 25 / 0,25 = 100$ . Suposições: AASc (ou população grande), e que o palpite “5 SM” é $σ$ . (b) Com $N$ finito o erro padrão é $\sqrt{(1 - f) S^{2} / n}$ , e $n = 1 / (0,25 / 25 + 1 / N)$ : 99,5 → 100 para 20 000 (nada muda) e 90,9 → 91 para 1 000 (a finitude economiza 9%). (c) $CV = EP / μ = 0,05$ → $EP = 0,5$ : é o mesmo problema, $n = 100$ . Só que agora a resposta depende do palpite para $μ$ também.

(3.18) Erro padrão fixo de 0,005: $n = P Q / {0,005}^{2}$ = 10 000 para $P = 0,5$ e 396 para $P = 0,01$ — a doença rara pede uma amostra 25 vezes menor. CV fixo de 5%: $EP = 0,05 P$ , $n = Q / ({0,05}^{2} P)$ = 400 para 50% e 39 600 para 1% — inverteu, por um fator de 100. A lição: erro absoluto favorece proporções pequenas (a variância $P Q$ é pequena); erro relativo as pune (o erro tem de ser pequeno em relação a algo já pequeno). Antes de fixar $n$ , decida qual dos dois o usuário da pesquisa realmente quer — para uma doença rara, quase sempre é o relativo.

Exercício 3.25 — bastam 12 prateleiras para o estoque?

Valores das 36 prateleiras (R$): 29, 38, 42, 44, 45, 47, 51, 53, 53, 54, 56, 56, 58, 58, 59, 60, 60, 60, 60, 61, 61, 61, 62, 64, 65, 67, 67, 68, 69, 71, 72, 74, 74, 77, 82, 85. Erro inferior a R$ 200 no total, com 95%, é aceitável. Alguém sugeriu AAS de 12 prateleiras. Concorda?

Aqui a população inteira é dada, então $S^{2}$ é conhecida: $τ = 2163$ , $μ = 60,08$ , $S^{2} = 143,45$ ( $S = 11,98$ ). Com $n = 12$ em AASs, o erro máximo de 95% para o total é $B = 1,96 \times 36 \sqrt{(1 - 1 / 3) 143,45 / 12} = 199,2$ . Pela fórmula (3.29), o mínimo é $n = 36 / [{(200 / 1,96)}^{2} / (36 \times 143,45) + 1] = 11,94$ → 12. Concordo, por um triz — e com duas ressalvas. Primeira: a conta usa a $S^{2}$ verdadeira, que só se conhece porque o armazém inteiro já foi levantado; num armazém novo, um piloto que estimasse $S^{2}$ um pouco maior já pediria 13 ou 14. Segunda: o objetivo é o total da empresa, com vários armazéns; se as prateleiras variam mais entre armazéns do que dentro, o certo é estratificar por armazém (capítulo 4), e a AAS de 12 num só não responde a pergunta.

Exercício 3.27 — domicílios com moradores idosos em Pepira

AAS de 60 dos 621 domicílios: 11 têm pelo menos um morador com mais de 65 anos. (a) Estime $P$ e o erro padrão. (b) Tamanho para erro de no máximo 8 pontos percentuais.

(a) $p = 11 / 60 = 0,183$ ; $f = 60 / 621 = 0,097$ ; $EP = \sqrt{(1 - f) \cdot 0,183 \times 0,817 / 59} = 0,048$ . Em domicílios: $621 \times 0,183 = 114$ , com erro padrão 30. (b) $B = 0,08$ , $D = {(0,08 / 1,96)}^{2} = 0,001666$ ; por (3.34) com $p q = 0,150$ : $n = 621 / [620 \times 0,001666 / 0,150 + 1] = 78,6$ → 79 domicílios; o conservador ( $P Q = 1 / 4$ ) daria 121. Como já se tem $n = 60$ , faltam 19 — e o erro atual, $1,96 \times 0,048 = 0,094$ , já não está longe dos 0,08 pedidos.

N <- 621; n <- 60; p <- 11 / 60; f <- n / N
ep <- sqrt((1 - f) * p * (1 - p) / (n - 1)); round(c(p, ep, N * p, N * ep), 3)
## [1]   0.183   0.048 113.850  29.733
D <- (0.08 / 1.96)^2; c(N / ((N - 1) * D / (p * (1 - p)) + 1), N / (4 * (N - 1) * D + 1))
## [1]  78.61958 121.01461

Sobre esta versão. Mesmo conteúdo do capítulo 3 de Bolfarine & Bussab (págs. 61–92), reorganizado em doze passos curtos, cada um com o caso numérico antes do símbolo e uma pergunta de recuperação no fim. Todos os valores foram recalculados. Duas observações sobre o impresso: o livro usa $z_{α} \approx 2$ nos tamanhos de amostra e 1,96 nos intervalos (Ex. 3.2 dá 96 com 2 e 93 com 1,96; Ex. 3.6 dá 3 466 e 3 341), e o limite inferior do IC do Exemplo 3.3 é −0,06, impresso truncado em 0,00.