Menu · Guia de prova · Bolfarine & Bussab, caps. 1–4 (págs. 1–126)

Definições e resultados — capítulos 1 a 4

Só os enunciados: toda definição, teorema, corolário e lema, na numeração do livro, com as hipóteses que cada um exige. Sem exemplos, sem demonstrações, sem exercícios.

definição teorema / corolário / lema hipótese que costuma ser esquecida

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1 · Capítulo 1 — vocabulário (nada numerado no livro)

Constructo, variável, parâmetro

Constructo — a ideia a investigar (“bem-estar”, “intenção de voto”); não é observável.

Variável — a característica que se mede em cada unidade e que representa o constructo.

Parâmetro — função dos valores da variável em toda a população; é o número-alvo.

As três unidades

Unidade elementar — aquela sobre a qual se quer a informação.

Unidade amostral — aquela que é efetivamente sorteada. Pode conter várias elementares (conglomerado).

Unidade de resposta (informante) — quem fornece a informação.

As três coincidem só quando se sorteia diretamente de uma lista das unidades elementares.

As três populações e o sistema de referência

População alvo — a que se deseja descrever.

População referida — a descrita pelo sistema de referência (cadastro, mapa, lista) de que se dispõe.

População amostrada — a que de fato tem chance de ser sorteada.

Alvo ⊇ referida ⊇ amostrada. As diferenças são erros de cobertura. A inferência probabilística vale para a população amostrada.

Estrato × subclasse (domínio)

Estrato — subdivisão da população usada no sorteio: $N_{h}$ é conhecido e $n_{h}$ é fixado pelo pesquisador.

Subclasse (domínio) — subdivisão identificada só na análise: o número de unidades dela na amostra é aleatório.

Amostra probabilística; censo × amostra

Uma amostra é probabilística quando é obtida por um sorteio em que toda amostra possível $s$ tem probabilidade $P (s)$ conhecida. Só nesse caso existem viés, variância e intervalo de confiança. (Amostras intencionais, por cotas ou de voluntários não são probabilísticas.)

Censo — observação de todas as unidades. Amostragem — de uma parte; ganha em custo, prazo e qualidade por unidade.

Estimador, estimativa, os dois erros

Estimador — a regra (função dos dados da amostra); estimativa — o valor numérico que ela produz para uma amostra dada.

Erro amostral — o desvio $\hat{θ} (s) - θ$ , consequência de observar só parte; é medido pela variância e diminui com $n$ .

Erro não amostral — cobertura, não resposta, resposta incorreta, processamento; não diminui com $n$ e existe também no censo.

Os planos amostrais nomeados no cap. 1

AAS — sorteio equiprovável das unidades elementares, com ou sem reposição.
Estratificada — a população é partida em estratos e sorteia-se independentemente dentro de cada um.
Conglomerados — sorteiam-se grupos e observam-se todas as unidades de cada grupo sorteado.
Em estágios — sorteiam-se grupos e, dentro deles, sorteiam-se unidades.
Sistemática — sorteia-se o primeiro elemento e tomam-se os demais a intervalos fixos.
PPT — probabilidade de seleção proporcional ao tamanho da unidade.

2 · Capítulo 2 — definições 2.1 a 2.11

População, dados, parâmetro (Seção 2.2)

$U = {1, \dots, N}$ é o conjunto dos rótulos; $D = (Y_{1}, \dots, Y_{N})$ o vetor de valores, constante. Parâmetro: qualquer $θ (D)$ .

τ = \sum_{i = 1}^{N} Y_{i}, μ = \frac{τ}{N}, σ^{2} = \frac{1}{N} \sum_{i} {(Y_{i} - μ)}^{2}

S^{2} = \frac{1}{N - 1} \sum_{i} {(Y_{i} - μ)}^{2} = \frac{N}{N - 1} σ^{2}

Razões: $R = τ (Y) / τ (X)$ (razão dos totais) e $\bar{R} = \frac{1}{N} \sum Y_{i} / X_{i}$ (média das razões). Se $Y_{i} \in {0, 1}$ : $μ = P$ , $σ^{2} = P Q$ .

Definição 2.1 — amostra ordenada

Qualquer sequência $s = (k_{1}, \dots, k_{n})$ de $n$ unidades de $U$ , com $k_{i} \in U$ . O rótulo $k_{i}$ é o $i$ -ésimo componente de $s$ . Ordem e repetição contam: $(1, 2) \neq (2, 1)$ .

Definição 2.2 — frequência e presença

$f_{i} (s)$ = número de vezes que a unidade $i$ aparece em $s$ ;

δ_{i} (s) = {\begin{cases} 1, se i \in s \\ 0, se i \notin s \end{cases}

Definição 2.3 — tamanho e tamanho efetivo

n (s) = \sum_{i = 1}^{N} f_{i} (s), ν (s) = \sum_{i = 1}^{N} δ_{i} (s)

$n (s)$ conta repetições; $ν (s)$ conta unidades distintas. Sem reposição, $n (s) = ν (s)$ .

Definição 2.4 — espaço amostral

$S (U)$ = conjunto de todas as amostras ordenadas de $U$ , de qualquer tamanho; $S_{n} (U)$ = subclasse das de tamanho $n$ .

Definição 2.5 — planejamento amostral ordenado

Função $P (s)$ definida em $S (U)$ com

P (s) ⩾ 0 \forall s \in S (U), \sum_{s \in S} P (s) = 1

$S_{A}$ = amostras com $P (s) > 0$ (o suporte do plano $A$ ).

Plano simétrico e plano de tamanho fixo (Seção 2.6)

Simétrico — $f_{i}$ tem a mesma distribuição para todo $i$ , e $(f_{i}, f_{j})$ a mesma distribuição conjunta para todo par $i \neq j$ . Escreve-se então $f$ e $f^{'}$ sem índice.

Tamanho fixo — $n (s) = n$ para toda $s \in S_{A}$ .

Não são definições numeradas, mas são as hipóteses de (2.8), (2.9), (2.14) e (2.15) — e portanto de quase tudo nos caps. 3 e 4.

Definições 2.6 e 2.7 — dados e estatística

$d_{s} = (Y_{k_{1}}, \dots, Y_{k_{n}})$ são os dados da amostra. Percorrendo $S_{A}$ , obtém-se o vetor aleatório $y = (y_{1}, \dots, y_{n})$ .

Estatística: qualquer função $h (d_{s})$ dos dados da amostra. Não pode depender de parâmetro desconhecido.

Definição 2.8 — distribuição amostral

Distribuição de probabilidades de $H (d_{s})$ sobre $S_{A}$ :

P (h) = P_{A} (s \in S_{A}; H (d_{s}) = h)

A distribuição amostral depende do plano. Trocar o plano muda tudo, mesmo com a mesma estatística.

Definição 2.9 — probabilidades de inclusão

π_{i} (A) = P_{A} (δ_{i} = 1) = \sum_{s ∋ i} P_{A} (s)

π_{i j} (A) = \sum_{s \supset {i, j}} P_{A} (s)

Definições 2.10 e 2.11 — não viciado, viés, EQM

$\hat{θ} (d_{s})$ é não viciado segundo o plano $A$ se $E_{A} [\hat{θ}] = θ$ . Caso contrário,

B_{A} [\hat{θ}] = E_{A} [\hat{θ}] - θ, {EQM}_{A} [\hat{θ}] = E_{A} {[\hat{θ} - θ]}^{2}

{EQM}_{A} [\hat{θ}] = {Var}_{A} [\hat{θ}] + B_{A}^{2} [\hat{θ}]

O índice $A$ não é decoração: viés e EQM são propriedades do par (estimador, plano).

2.1 Expressões úteis (2.2)–(2.20)

Identidades algébricas — valem sempre (2.2)–(2.4)

\sum_{i = 1}^{N} {(Y_{i} - μ)}^{2} = \sum_{i} Y_{i}^{2} - N μ^{2}

(2.2)

\sum_{i} (Y_{i} - μ_{Y}) (X_{i} - μ_{X}) = \sum_{i} X_{i} Y_{i} - N μ_{X} μ_{Y}

(2.3)

\sum_{i \neq j} Y_{i} Y_{j} = - \sum_{i} Y_{i}^{2} + N^{2} μ^{2}

(2.4)

Hipóteses: nenhuma — são identidades de soma. Valem igualmente na amostra observada.

Tamanho da amostra sob um plano (2.5)–(2.7)

E_{A} [n] = \sum_{i} E_{A} [f_{i}]

(2.6)

{Var}_{A} [n] = \sum_{i} {Var}_{A} [f_{i}] + \sum_{i \neq j} {Cov}_{A} [f_{i}, f_{j}]

(2.7)

Hipóteses: plano amostral qualquer.

Simetria, e simetria com tamanho fixo (2.8)–(2.9)

{Var}_{A} [n] = N {Var}_{A} [f] + N (N - 1) {Cov}_{A} [f, f^{'}]

(2.8)

{Cov}_{A} [f, f^{'}] = - \frac{{Var}_{A} [f]}{N - 1}

(2.9)

Hipóteses: (2.8) exige plano simétrico; (2.9) exige simétrico e de tamanho fixo (aí $Var [n] = 0$ ). Em plano simétrico de tamanho fixo, $E [f] = n / N$ .

Total da amostra (2.10)–(2.13)

t (s) = \sum_{i \in s} Y_{i} = \sum_{i = 1}^{N} f_{i} (s) Y_{i}

(2.11)

E_{A} [t] = \sum_{i} Y_{i} E_{A} [f_{i}]

(2.12)

{Var}_{A} [t] = \sum_{i} Y_{i}^{2} {Var}_{A} [f_{i}] + \sum_{i \neq j} Y_{i} Y_{j} {Cov}_{A} [f_{i}, f_{j}]

(2.13)

Hipóteses: plano qualquer. São exatas, mas exigem conhecer $Y_{i}$ um a um.

O resultado central (2.14)–(2.15)

E_{A} [t] = E_{A} [f] \sum_{i = 1}^{N} Y_{i} = E_{A} [f] τ

(2.14)

{Var}_{A} [t] = {Var}_{A} [f] N S^{2}

(2.15)

Hipóteses: plano simétrico E de tamanho fixo. Fora disso não vale — e é a hipótese mais cobrada do capítulo. Todos os resultados dos caps. 3 e 4 saem daqui trocando a distribuição de $f_{i}$ .

Momentos de segunda ordem (2.16)–(2.18)

E_{A} [t^{2}] = {Var}_{A} [f] N S^{2} + E_{A}^{2} [f] τ^{2}

(2.16)

s_{q}^{2} = \sum_{i \in s} Y_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{N} f_{i} (s) Y_{i}^{2}

(2.17)

E_{A} [s_{q}^{2}] = E_{A} [f] N (σ^{2} + μ^{2})

(2.18)

Hipóteses: as mesmas de (2.14)–(2.15). São o que torna possível provar que $s^{2}$ é não viesado (Teoremas 3.4 e 3.9).

Esperança e variância iteradas (2.19)–(2.20)

E_{A} [f_{i}] = E_{A} {E_{A} [f_{i} | f_{j}]}

(2.19)

{Var}_{A} [f_{i}] = E_{A} {{Var}_{A} [f_{i} | f_{j}]} + {Var}_{A} {E_{A} [f_{i} | f_{j}]}

(2.20)

Hipóteses: plano qualquer. Reaparecem na amostragem em dois estágios (cap. 8).

3 · Capítulo 3 — amostragem aleatória simples

Os dois planos

AASc — numerar as $N$ unidades; sortear uma com probabilidade $1 / N$ ; repor; repetir $n$ vezes. Logo $P (s) = 1 / N^{n}$ para toda $s \in S_{n} (U)$ .

AASs — idêntico, mas o elemento sorteado é retirado da população. Cada unidade aparece no máximo uma vez.

Ambos são simétricos e de tamanho fixo — por isso (2.14)–(2.15) se aplicam.

Teorema 3.1 — a variável $f_{i}$ na AASc

Hipótese: plano AASc. Então $f_{i} \sim b (n; 1 / N)$ e

E [f_{i}] = \frac{n}{N}, Var [f_{i}] = \frac{n}{N} (1 - \frac{1}{N})

(3.1)–(3.2)

π_{i} = 1 - {(1 - \frac{1}{N})}^{n}

(3.3)

π_{i j} = 1 - 2 {(1 - \frac{1}{N})}^{n} + {(1 - \frac{2}{N})}^{n}

(3.4)

Cov [f_{i}, f_{j}] = - \frac{n}{N^{2}}, i \neq j

Teor. 3.1

A covariância vem de $(f_{1}, \dots, f_{N}) \sim M (n; 1 / N, \dots)$ (multinomial).

Teoremas 3.2 e 3.3, Corolário 3.1 — total e média na AASc

Hipótese: plano AASc. Com $t (s) = \sum_{i \in s} Y_{i}$ :

E [t] = n μ, Var [t] = n σ^{2}

Teor. 3.2

Teorema 3.3: $\bar{y} = t (s) / n = \hat{μ}$ (3.8) é não viesado para $μ$ , com

Var [\bar{y}] = \frac{σ^{2}}{n}

(3.9)

Corolário 3.1: $T (s) = \hat{τ} = N \bar{y}$ (3.10) é não viesado para $τ$ , com $Var [T] = N^{2} σ^{2} / n$ . É o estimador expansão: $\hat{τ} = n \bar{y} + (N - n) \bar{y}$ , isto é, a parte não observada também é estimada por $\bar{y}$ .

Teorema 3.4 e Corolário 3.2 — variância na AASc

Hipótese: plano AASc. A estatística

s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i \in s} {(Y_{i} - \bar{y})}^{2}

(3.11)

é não viesada para $σ^{2}$ (não para $S^{2}$ ). Logo, pelo Corolário 3.2,

var [\bar{y}] = \frac{s^{2}}{n}, var [T] = N^{2} \frac{s^{2}}{n}

(3.12)–(3.13)

Normalidade assintótica e IC na AASc (3.14)–(3.17)

Hipóteses: AASc e $n$ suficientemente grande (TLC; condições no cap. 10).

\frac{\bar{y} - μ}{\sqrt{σ^{2} / n}} \overset{a}{\sim} N (0, 1)

(3.14)

[\bar{y} - z_{α} \sqrt{s^{2} / n}; \bar{y} + z_{α} \sqrt{s^{2} / n}]

(3.17)

Tamanho da amostra na AASc (3.18)–(3.21)

Hipóteses: AASc, aproximação normal válida, e $σ^{2}$ conhecido (ou substituído por uma estimativa prévia). Exigindo $P (| \bar{y} - μ | ⩽ B) ≃ 1 - α$ :

D = \frac{B^{2}}{z_{α}^{2}}, n = \frac{σ^{2}}{D}

(3.20)–(3.21)

Aqui $n$ não tem teto: nada impede $n > N$ , porque com reposição a variância $σ^{2} / n$ nunca zera.

Teorema 3.5 — proporção na AASc

Hipóteses: AASc e $Y_{i} \in {0, 1}$ , de modo que $σ^{2} = P Q$ (3.22). Então $p = \hat{P} = \bar{y} = m / n$ é não viciado para $P$ , com

Var [\hat{P}] = \frac{P Q}{n}, var [p] = \frac{\hat{P} \hat{Q}}{n - 1}

(3.24)

IC (3.25): $\hat{P} \pm z_{α} \sqrt{\hat{P} \hat{Q} / (n - 1)}$ ; versão conservadora com $1 / 4$ no lugar de $\hat{P} \hat{Q}$ (pois $P Q ⩽ 1 / 4$ ). Tamanho da amostra (3.27): $n = P Q / D$ .

Definição 3.1 — estimador linear

{\bar{y}}_{s ℓ} = \sum_{i = 1}^{n} ℓ_{i} y_{i}

com os $ℓ_{i}$ constantes conhecidas (não podem depender dos dados). $\bar{y}$ é o caso $ℓ_{i} = 1 / n$ .

Lema 3.1

${\bar{y}}_{s ℓ}$ é não viciado para $μ$ se e somente se $\sum_{i = 1}^{n} ℓ_{i} = 1$ .

Hipótese: não viés para todo $D$ possível — é o que força a condição.

Teorema 3.6 — otimalidade de $\bar{y}$ na AASc

Hipóteses: plano AASc, e a classe dos estimadores lineares não viciados (Def. 3.1 + Lema 3.1). Nessa classe, $\bar{y}$ tem a menor variância, porque

Var [{\bar{y}}_{s ℓ}] = σ^{2} {\sum_{i = 1}^{n} {(ℓ_{i} - \frac{1}{n})}^{2} + \frac{1}{n}}

(3.28)

A passagem usa a independência dos $y_{i}$ , que só vale com reposição. O caso sem reposição é o Teorema 3.10.

Teorema 3.7 — a variável $f_{i}$ na AASs

Hipótese: plano AASs. Então $f_{i} = δ_{i} \sim b (1; n / N)$ (Bernoulli) e

E [f_{i}] = \frac{n}{N}, Var [f_{i}] = \frac{n}{N} (1 - \frac{n}{N})

π_{i} = \frac{n}{N}, π_{i j} = \frac{n}{N} \frac{n - 1}{N - 1}

Cov [f_{i}, f_{j}] = - \frac{n}{N^{2}} \frac{N - n}{N - 1}, i \neq j

Teorema 3.8, Corolários 3.3 e 3.4 — total e média na AASs

Hipótese: plano AASs; $f = n / N$ é a fração amostral.

E [t] = n μ, Var [t] = n (1 - f) S^{2}

Teor. 3.8

Var [\bar{y}] = (1 - f) \frac{S^{2}}{n}, Var [T] = N^{2} (1 - f) \frac{S^{2}}{n}

Cor. 3.3–3.4

Ambos não viesados: $E [\bar{y}] = μ$ , $E [T] = τ$ , com $T = N \bar{y}$ . Aqui a variância é em $S^{2}$ , não em $σ^{2}$ .

Teorema 3.9 e Corolário 3.5 — variância na AASs

Hipótese: plano AASs. O mesmo $s^{2}$ de (3.11) é agora não viesado para $S^{2}$ , e

var [\bar{y}] = (1 - f) \frac{s^{2}}{n}, var [T] = N^{2} (1 - f) \frac{s^{2}}{n}

Cor. 3.5

IC para $μ$ : $\bar{y} \pm z_{α} \sqrt{(1 - f) s^{2} / n}$ (hipótese adicional: $n$ grande).

Tamanho da amostra na AASs

Hipóteses: AASs, normalidade aproximada, $S^{2}$ suposto conhecido; $D = B^{2} / z_{α}^{2}$ .

n = \frac{1}{D / S^{2} + 1 / N} (média)

n = \frac{N}{D / (N S^{2}) + 1} (total)

(3.29)

O termo $1 / N$ garante $n < N$ : o censo é o teto.

Proporção na AASs (3.30)–(3.34)

Hipóteses: AASs e $Y_{i}$ 0–1. Então $S^{2} = \frac{N}{N - 1} P (1 - P)$ (3.30) e $s^{2} = \frac{n}{n - 1} \hat{P} \hat{Q}$ (3.31), de modo que

Var [\hat{P}] = (1 - f) \frac{S^{2}}{n} = \frac{N - n}{N - 1} \frac{P Q}{n}

IC (3.32): $\hat{P} \pm z_{α} \sqrt{(1 - f) \hat{P} \hat{Q} / (n - 1)}$ . Tamanho da amostra:

n = \frac{N}{(N - 1) D / (P Q) + 1}

(3.34)

Sem informação sobre $P$ , use $P Q = 1 / 4$ (conservador).

Teorema 3.10 — otimalidade de $\bar{y}$ na AASs

Hipóteses: plano AASs, classe dos lineares não viciados ( $\sum ℓ_{i} = 1$ ). Nessa classe $\bar{y}$ é o de menor variância, mesmo sem independência — com $Var [y_{i}] = \frac{N - 1}{N} S^{2}$ e $Cov [y_{i}, y_{j}] = - S^{2} / N$ :

Var [{\bar{y}}_{s ℓ}] = S^{2} (\sum_{i = 1}^{n} ℓ_{i}^{2} - \frac{1}{N})

(3.35)

Efeito do planejamento — EPA (Seção 3.4)

Razão entre a variância do estimador sob o plano estudado e sob um plano tomado como padrão (em geral a AASc de mesmo $n$ ):

EPA = \frac{{Var}_{plano} [\bar{y}]}{{Var}_{AASc} [\bar{y}]}

Para a AASs: $EPA = (N - n) / (N - 1) ⩽ 1$ . Só compara estimadores não viesados; se houver viés, compare EQM.

4 · Capítulo 4 — amostragem estratificada

População estratificada (4.1)–(4.4)

$U = \cup_{h = 1}^{H} U_{h}$ com $U_{h} \cap U_{h^{'}} = ϕ$ (4.1): estratos disjuntos e exaustivos, com $N_{h}$ conhecido e $W_{h} = N_{h} / N$ . Então $τ = \sum τ_{h}$ e $μ = \sum W_{h} μ_{h}$ .

N σ^{2} = \sum_{h} \sum_{i = 1}^{N_{h}} {(Y_{h i} - μ_{h})}^{2} + \sum_{h} N_{h} {(μ_{h} - μ)}^{2}

(4.3)

σ^{2} = \sum_{h} W_{h} σ_{h}^{2} + \sum_{h} W_{h} {(μ_{h} - μ)}^{2} = σ_{d}^{2} + σ_{e}^{2}

(4.4)

Hipóteses: nenhuma além da partição — (4.3)–(4.4) são identidades, valem para qualquer divisão da população.

Variáveis independentes (4.6)–(4.7)

Hipótese: $X_{1}, \dots, X_{H}$ independentes. Para $X = \sum l_{h} X_{h}$ :

E [X] = \sum_{h} l_{h} E [X_{h}], Var [X] = \sum_{h} l_{h}^{2} Var [X_{h}]

(4.6)–(4.7)

As três hipóteses do Teorema 4.1 (o livro as lista antes do enunciado)

(a) a população está estratificada como acima ( $N_{h}$ conhecidos);
(b) de cada estrato sorteou-se independentemente uma amostra de tamanho $n_{h}$ , podendo ou não ter sido usado o mesmo plano em cada estrato;
(c) ${\hat{μ}}_{h}$ é um estimador não viesado de $μ_{h}$ sob o plano usado no estrato $h$ .

É o que dá ao Teorema 4.1 o seu alcance: ele não supõe AAS dentro do estrato. A AASc só entra no Corolário 4.2.

Teorema 4.1 e Corolário 4.1

Hipóteses: (a), (b) e (c) acima.

T_{es} = \sum_{h = 1}^{H} N_{h} {\hat{μ}}_{h} é não viesado para τ

{Var}_{A} [T_{es}] = \sum_{h} N_{h}^{2} {Var}_{A} [{\hat{μ}}_{h}]

Corolário 4.1: ${\bar{y}}_{es} = \frac{1}{N} \sum N_{h} {\hat{μ}}_{h} = \sum W_{h} {\hat{μ}}_{h}$ é não viesado para $μ$ , com ${Var}_{A} [{\bar{y}}_{es}] = \sum W_{h}^{2} {Var}_{A} [{\hat{μ}}_{h}]$ .

Sem termo de covariância — é a hipótese (b) (independência entre estratos) que o elimina.

Corolário 4.2 — AASc dentro dos estratos

Hipóteses: as do Teorema 4.1, mais: dentro de cada estrato a amostra foi sorteada por AASc e ${\hat{μ}}_{h} = {\bar{y}}_{h}$ .

Var [T_{es}] = \sum_{h} N_{h}^{2} \frac{σ_{h}^{2}}{n_{h}}, Var [{\bar{y}}_{es}] = \sum_{h} W_{h}^{2} \frac{σ_{h}^{2}}{n_{h}}

Variante AASs (Exercício 4.35): trocar $σ_{h}^{2}$ por $(1 - f_{h}) S_{h}^{2}$ , $f_{h} = n_{h} / N_{h}$ .

Teorema 4.2 — alocação proporcional (AEpr)

Hipóteses: as do Corolário 4.2 (AASc dentro), mais a alocação $n_{h} = n W_{h} = n N_{h} / N$ (4.8). Então ${\bar{y}}_{es} = \bar{y}$ (a média amostral simples) e

V_{pr} = \sum_{h} W_{h} \frac{σ_{h}^{2}}{n} = \frac{σ_{d}^{2}}{n}, var [{\bar{y}}_{es}] = \sum_{h} W_{h} \frac{s_{h}^{2}}{n}

(4.9)

Na AEpr a fração amostral é a mesma em todos os estratos: $f_{h} = n / N$ .

Corolário 4.3 — alocação uniforme (AEun)

Hipóteses: as do Corolário 4.2, com $n_{h} = k = n / H$ para todo $h$ .

V_{un} = \sum_{h} W_{h}^{2} \frac{σ_{h}^{2}}{k}, var [{\bar{y}}_{es}] = \sum_{h} W_{h}^{2} \frac{s_{h}^{2}}{k}

Indicada quando se quer estimar cada estrato com a mesma precisão.

Teorema 4.3 — alocação ótima com custos

Hipóteses: as do Corolário 4.2, e função de custo linear $C = c_{0} + \sum c_{h} n_{h}$ , $C^{'} = C - c_{0}$ (4.10). Então $V_{es}$ é mínimo para $C^{'}$ fixado — e $C^{'}$ é mínimo para $V_{es}$ fixado — quando

n_{h} = n \frac{W_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}}}{\sum_{h = 1}^{H} W_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}}}

(4.12)

A demonstração usa Cauchy–Schwarz (4.11), com igualdade quando $b_{h} / a_{h}$ é constante.

Corolário 4.4 — o tamanho total $n$

Hipóteses: as do Teorema 4.3.

(i) para $C^{'}$ fixado:

n = C^{'} \frac{\sum N_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}}}{\sum N_{h} σ_{h} \sqrt{c_{h}}}

(4.18)

(ii) para $V_{es}$ fixado:

n = \frac{1}{V_{es}} (\sum_{h} W_{h} σ_{h} \sqrt{c_{h}}) (\sum_{h} \frac{W_{h} σ_{h}}{\sqrt{c_{h}}})

(4.19)

O livro imprime (4.19) com os dois fatores iguais a $\sum W_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}}$ ; é gralha — um deles leva $\sqrt{c_{h}}$ no numerador, como acima.

Corolário 4.5 — alocação de Neyman

Hipóteses: as do Teorema 4.3 com custo por unidade constante, $C^{'} = n c$ . A alocação ótima reduz-se a

n_{h} = n \frac{N_{h} σ_{h}}{\sum_{h = 1}^{H} N_{h} σ_{h}}

(4.20)

V_{ot} = \frac{1}{n} {(\sum_{h = 1}^{H} W_{h} σ_{h})}^{2} = \frac{{\bar{σ}}^{2}}{n}

(4.21)

$\bar{σ} = \sum W_{h} σ_{h}$ é o desvio padrão médio dentro dos estratos; $n_{h} \propto N_{h} σ_{h}$ .

Teorema 4.4 — comparação das alocações

Hipóteses: mesmo $n$ , custo constante, AASc dentro dos estratos; $V_{c} = {Var}_{AASc} [\bar{y}] = σ^{2} / n$ , $V_{pr} = σ_{d}^{2} / n$ (4.22), $V_{ot}$ de (4.21). Então

V_{ot} ⩽ V_{pr} ⩽ V_{c}

V_{pr} - V_{ot} = \frac{1}{n} \sum_{h} W_{h} {(σ_{h} - \bar{σ})}^{2} = \frac{σ_{dp}^{2}}{n}

(4.24)

V_{c} = V_{pr} + \frac{σ_{e}^{2}}{n} = V_{ot} + \frac{σ_{e}^{2}}{n} + \frac{σ_{dp}^{2}}{n}

(4.25)

Leitura: médias de estrato diferentes ( $σ_{e}^{2}$ grande) ⇒ use proporcional ou ótima; desvios também diferentes ( $σ_{dp}^{2}$ grande) ⇒ use a ótima.

EPA da estratificada (4.26)–(4.27)

EPA [AEpr] = \frac{V_{pr}}{V_{c}} = 1 - \frac{σ_{e}^{2}}{σ^{2}}

EPA [AEot] = 1 - \frac{σ_{e}^{2}}{σ^{2}} - \frac{σ_{dp}^{2}}{σ^{2}}

(4.26)

Com alocação arbitrária (pesos amostrais $w_{h} = n_{h} / n$ ):

EPA [AEc] = \sum_{h = 1}^{H} W_{h} \frac{W_{h}}{w_{h}} {(\frac{σ_{h}}{σ})}^{2}

(4.27)

Atenção: (4.26) é $⩽ 1$ sempre, mas (4.27) pode passar de 1 — com alocação mal escolhida a estratificação perde para a AASc.

Normalidade, IC e tamanho da amostra (4.28)–(4.31)

Hipóteses: as do Teorema 4.1, com $n_{h}$ e $N_{h}$ suficientemente grandes.

\frac{{\bar{y}}_{es} - μ}{\sqrt{\sum W_{h}^{2} σ_{h}^{2} / n_{h}}} \overset{a}{\sim} N (0, 1)

(4.28)

IC (4.30): ${\bar{y}}_{es} \pm z_{α} \sqrt{\sum W_{h}^{2} s_{h}^{2} / n_{h}}$ .

Hipótese extra para o tamanho: é preciso fixar antes a forma da alocação ( $n_{h} = n w_{h}$ ), porque a variância depende dos $n_{h}$ . Com proporcional:

n = \frac{1}{D} \sum_{h = 1}^{H} W_{h} σ_{h}^{2} = \frac{σ_{d}^{2}}{D}

(4.31)

Com Neyman, $n = {\bar{σ}}^{2} / D$ . Para o total, use $D / N^{2}$ no lugar de $D$ .

Teoremas 4.5 e 4.6 — proporções

Hipóteses: AE com reposição dentro dos estratos e $Y_{h i}$ 0–1, de modo que $σ_{h}^{2} = P_{h} Q_{h}$ .

Teorema 4.5: $p_{es} = {\hat{P}}_{es} = \sum W_{h} {\hat{P}}_{h}$ é não viciado para $P$ , com

V_{es} = \sum_{h = 1}^{H} W_{h}^{2} \frac{P_{h} Q_{h}}{n_{h}}

(4.32)

Teorema 4.6: um estimador não viciado de $V_{es}$ é

{\hat{V}}_{es} = \sum_{h = 1}^{H} W_{h}^{2} \frac{{\hat{P}}_{h} {\hat{Q}}_{h}}{n_{h} - 1}

Alocação de Neyman para proporções (Teorema 4.3 com $σ_{h} = \sqrt{P_{h} Q_{h}}$ e custo constante):

n_{h} = n \frac{N_{h} \sqrt{P_{h} Q_{h}}}{\sum N_{k} \sqrt{P_{k} Q_{k}}}

(4.33)

5 · Quadro das hipóteses

O que cada resultado exige. Cair aqui é o erro mais caro da prova: aplicar a fórmula certa sob a hipótese errada.
Resultado	Exige	Quebra se…
(2.2)–(2.4), (4.3)–(4.4)	nada (identidades)	—
(2.6)–(2.7), (2.12)–(2.13), (2.19)–(2.20)	plano qualquer	—
(2.8)	plano simétrico	$f_{i}$ não têm a mesma distribuição (ex.: PPT)
(2.9), (2.14), (2.15), (2.16), (2.18)	simétrico e de tamanho fixo	tamanho aleatório, ou plano assimétrico
Teor. 3.1–3.6, Cor. 3.1–3.2	AASc	sem reposição: some o $(1 - f)$ e troca $σ^{2} \leftrightarrow S^{2}$
Teor. 3.4	AASc	na AASs o alvo de $s^{2}$ passa a ser $S^{2}$ (Teor. 3.9)
(3.14)–(3.17), (3.20)–(3.21)	$n$ grande (TLC)	$n$ pequeno e população assimétrica
Teor. 3.5, (3.30)–(3.34)	$Y_{i}$ 0–1	variável não dicotômica
Lema 3.1, Teor. 3.6, 3.10	estimador linear com $\sum ℓ_{i} = 1$	fora da classe linear existem estimadores melhores (caps. 5–6)
Teor. 3.6	independência dos $y_{i}$	na AASs há $Cov = - S^{2} / N$ → Teor. 3.10
Teor. 3.7–3.9, Cor. 3.3–3.5	AASs	com reposição: sem $(1 - f)$
Teor. 4.1, Cor. 4.1	(a) estratos com $N_{h}$ conhecidos; (b) sorteio independente em cada estrato; (c) ${\hat{μ}}_{h}$ não viesado	dependência entre estratos reintroduz covariâncias
Cor. 4.2, 4.3, Teor. 4.2	+ AASc dentro do estrato	AASs: use $(1 - f_{h}) S_{h}^{2}$
Teor. 4.2	+ $n_{h} = n W_{h}$	fora da proporcional, ${\bar{y}}_{es} \neq \bar{y}$
Teor. 4.3, Cor. 4.4	+ custo linear $C = c_{0} + \sum c_{h} n_{h}$ , $σ_{h}$ conhecidos	sem $σ_{h}$ não dá para alocar: use proporcional
Cor. 4.5 (Neyman)	+ custo por unidade constante	custos desiguais → (4.12)
Teor. 4.4	mesmo $n$ , AASc no estrato, alocação pr. ou ótima	alocação arbitrária: (4.27) pode passar de 1
Teor. 4.5–4.6, (4.33)	AE com reposição, $Y_{h i}$ 0–1	—

Enunciados condensados de Bolfarine, H.; Bussab, W. O., Elementos de Amostragem, IME-USP (2004) / Blucher (2005), caps. 1–4, para estudo pessoal. A numeração é a do livro; o cap. 1 não traz resultados numerados. Demonstrações e exemplos: cap. 1, cap. 2, cap. 3, cap. 4.