Menu · Bolfarine & Bussab · Capítulo 4 · págs. 93–126

Amostragem estratificada

Dividir a população em grupos e sortear dentro de cada um. O ganho tem nome, tem fórmula, e dá para calcular antes de ir a campo.

Ao final você deve saber fazer

Decompor $σ^{2}$ em “dentro” e “entre”, e dizer qual parte a estratificação elimina.
Escrever ${\bar{y}}_{es}$ e sua variância, para qualquer plano dentro dos estratos.
Repartir $n$ pelas quatro alocações, inclusive com custos diferentes.
Justificar $V_{ot} ⩽ V_{pr} ⩽ V_{c}$ e ler as duas diferenças.
Montar IC e calcular $n$ — e saber por que a alocação tem de ser fixada antes.
Reconhecer os casos em que estratificar não ajuda, ou atrapalha.

Como usar esta página

Um passo por vez, e responda a pergunta antes de abrir a resposta.

Os passos 1 a 5 montam o estimador. Os 6 a 10 são sobre como repartir a amostra, que é onde o capítulo realmente vive.

1 Por que estratificar

Passo 1 de 12

Se você já sabe que a população tem grupos bem diferentes entre si, sortear às cegas desperdiça essa informação.

Fixando quantos vêm de cada grupo, você elimina de uma vez a variação entre os grupos.

Exemplo 4.1 — oito domicílios, e a população do capítulo inteiro

domicílio	1	2	3	4	5	6	7	8
renda $Y_{i}$	13	17	6	5	10	12	19	6
região	B	A	B	B	B	A	A	B

$μ = 11$ , $σ^{2} = 24$ . Com AASc de $n = 4$ : $Var [\bar{y}] = 24 / 4 = 6,00$ .

Os estratos são homogêneos por dentro e bem diferentes por fora. É a situação ideal.

Sorteando 2 de cada estrato — o mesmo $n = 4$ — e combinando com pesos:

{\bar{y}}_{es} = \frac{3 {\bar{y}}_{A} + 5 {\bar{y}}_{B}}{8}, Var = \frac{9}{64} (4,33) + \frac{25}{64} (4,6) ≅ 2,41

Sem estratificar

6,00

AASc, $n = 4$

Estratificando

2,41

2 de cada estrato

EPA

0,40

menos da metade do erro

Quando não ajuda — Exemplo 4.2

Divida a mesma população pela metade da lista: $U_{1} = {1, 2, 3, 4}$ e $U_{2} = {5, 6, 7, 8}$ . As médias ficam 10,25 e 11,75 — quase iguais.

Resultado: $Var ≅ 5,86$ e EPA ≅ 0,98. Ganho nenhum.

A regra. Estratificar só ajuda se a variável usada para dividir estiver associada à variável de interesse. Região e renda estão; posição na lista não está.

Você vai pesquisar consumo de energia e pode estratificar por CEP ou pela inicial do sobrenome. Qual escolhe, e por quê?

CEP. Bairro está associado a renda, tipo de imóvel e consumo — as médias por estrato vão diferir.

Inicial do sobrenome é o Exemplo 4.2 disfarçado: cada estrato seria uma cópia em miniatura da população, com as mesmas médias. Você teria o trabalho da estratificação sem nenhum ganho.

2 Índices duplos, e o peso $W_{h}$

Passo 2 de 12

Cada unidade ganha dois índices: de que estrato, e qual dentro dele.

E a média da população é a média ponderada das médias dos estratos — nunca a média simples.

No exemplo

Estrato A tem $N_{A} = 3$ , estrato B tem $N_{B} = 5$ , $N = 8$ .

$W_{A} = 3 / 8$ , $W_{B} = 5 / 8$ .

$μ = \frac{3}{8} (16) + \frac{5}{8} (8) = 11$ ✓

A média simples de 16 e 8 daria 12. Errado.

Em símbolos

Partição: $U = \cup U_{h}$ , $U_{h} \cap U_{h^{'}} = ϕ$ (4.1).

Peso: $W_{h} = N_{h} / N$ , com $\sum W_{h} = 1$ .

τ = \sum_{h} τ_{h}, μ = \sum_{h} W_{h} μ_{h}

A hipótese escondida

Tudo isto exige $N_{h}$ conhecido antes do sorteio. Sem saber quantos domicílios há em cada região, não há $W_{h}$ e não há estimador.

Se você só descobre os grupos depois de sortear, isso é pós-estratificação ou domínio — outra coisa, com outra variância.

Dois estratos:

N_{1} = 900

com

μ_{1} = 10

N_{2} = 100

com

μ_{2} = 50

. Qual é

μ

$0,9 \times 10 + 0,1 \times 50 = 9 + 5 = 14$ .

Não 30. O estrato pequeno tem média alta, mas pesa 10%. Esse é o erro mais comum do capítulo.

3 A variância se parte em duas

Passo 3 de 12 · o resultado que explica o capítulo

Toda a variação da população se separa em: variação dentro dos estratos + variação entre as médias deles.

A estratificação elimina a segunda parcela. Só ela, e ela inteira.

(4.3)–(4.4)

σ^{2} = \sum_{h} W_{h} σ_{h}^{2} + \sum_{h} W_{h} {(μ_{h} - μ)}^{2} = σ_{d}^{2} + σ_{e}^{2}

Vale para qualquer divisão da população — é identidade algébrica, não resultado de amostragem.

No Exemplo 4.1

Dentro — média das variâncias:

$0,375 \times 8,67 + 0,625 \times 9,2 = 9,0$

Entre — variância das médias, em torno de 11:

$0,375 \times 5^{2} + 0,625 \times 3^{2} = 15,0$

Soma: 24 ✓

A demonstração, em uma linha

Escreva $Y_{h i} - μ = (Y_{h i} - μ_{h}) + (μ_{h} - μ)$ e eleve ao quadrado.

O termo cruzado some: dentro do estrato $h$ , $\sum (Y_{h i} - μ_{h}) = 0$ .

Sobram os dois quadrados. É a mesma conta da soma de quadrados de uma ANOVA.

Estratificando bem, os 15,0 “entre” desaparecem da variância do estimador. Os 9,0 “dentro” continuam lá.

Se todos os estratos tivessem a mesma média, quanto valeria

σ_{e}^{2}

? E o ganho?

$σ_{e}^{2} = 0$ , porque cada $(μ_{h} - μ)$ seria zero.

Então $σ^{2} = σ_{d}^{2}$ e o ganho é nenhum. É exatamente o Exemplo 4.2.

4 O estimador, e as três hipóteses que ele pede

Passo 4 de 12

Estime a média de cada estrato como quiser, e combine com os pesos $W_{h}$ .

O teorema é surpreendentemente generoso: não exige AAS dentro dos estratos.

As três hipóteses — o livro as lista antes do enunciado

(a) a população está estratificada, com $N_{h}$ conhecidos;
(b) de cada estrato sorteia-se independentemente uma amostra de tamanho $n_{h}$ — podendo usar planos diferentes em cada um;
(c) ${\hat{μ}}_{h}$ é não viesado para $μ_{h}$ sob o plano daquele estrato.

É (b) que faz a variância sair sem termos cruzados. E é o “podendo usar planos diferentes” que dá ao teorema o alcance que ele tem.

Teorema 4.1 e Corolário 4.1

T_{es} = \sum_{h} N_{h} {\hat{μ}}_{h}, {\bar{y}}_{es} = \sum_{h} W_{h} {\hat{μ}}_{h}

Os dois são não viesados, e

Var [{\bar{y}}_{es}] = \sum_{h} W_{h}^{2} Var [{\hat{μ}}_{h}]

Repare no quadrado. O peso entra ao quadrado na variância e sem quadrado na média — é (4.6)–(4.7), a regra de sempre para combinação linear de variáveis independentes.

Por que não aparece covariância entre estratos na fórmula da variância?

Pela hipótese (b): os sorteios são independentes de um estrato para outro.

Se você sorteasse de forma ligada — por exemplo, “se saiu o domicílio 2 no estrato A, então sorteio o 5 no B” — haveria covariância, e a fórmula perderia a validade.

5 AASc dentro dos estratos

Passo 5 de 12

Escolhido o plano mais simples dentro de cada estrato, a variância vira uma soma de $σ_{h}^{2} / n_{h}$ com pesos ao quadrado.

É esta fórmula que você vai minimizar nos passos 6 a 10.

Corolário 4.2

Hipóteses: as do Teorema 4.1, e AASc em cada estrato, com ${\hat{μ}}_{h} = {\bar{y}}_{h}$ .

Var [{\bar{y}}_{es}] = \sum_{h = 1}^{H} W_{h}^{2} \frac{σ_{h}^{2}}{n_{h}}, var [{\bar{y}}_{es}] = \sum_{h} W_{h}^{2} \frac{s_{h}^{2}}{n_{h}}

Com AASs em cada estrato, troque $σ_{h}^{2} / n_{h}$ por $(1 - f_{h}) S_{h}^{2} / n_{h}$ , com $f_{h} = n_{h} / N_{h}$ . É o capítulo 3 aplicado estrato por estrato.

Conferindo o 2,41 do passo 1

$n_{A} = n_{B} = 2$ :

{(\frac{3}{8})}^{2} \frac{8,67}{2} + {(\frac{5}{8})}^{2} \frac{9,2}{2} = 0,61 + 1,80 = 2,41

Y  <- c(13, 17, 6, 5, 10, 12, 19, 6)
h  <- c("B","A","B","B","B","A","A","B")
sig2 <- function(x) mean((x - mean(x))^2)
Nh <- table(h); W <- as.numeric(Nh / sum(Nh))
s2 <- as.numeric(tapply(Y, h, sig2))
sum(W^2 * s2 / c(2, 2))
## [1] 2.40625

Por que o peso entra ao quadrado na variância?

Porque $Var [a X] = a^{2} Var [X]$ . É (4.7), a regra de sempre.

Consequência prática: um estrato com peso pequeno contribui muito pouco para a variância — ${(1 / 10)}^{2} = 1 / 100$ . Por isso não adianta encher de amostra um estrato minúsculo.

6 A alocação muda tudo

Passo 6 de 12

Decidido $n$ , ainda falta a pergunta cara: quantos de cada estrato?

Trocar a repartição, com o mesmo $n$ e a mesma população, pode cortar 29% da variância.

Exemplo 4.4 — mesma amostra, duas repartições

Outra divisão da mesma população: $U_{1} = {2, 4, 7}$ com $S_{1}^{2} ≅ 57,3$ (muito heterogêneo) e $U_{2}$ com 5 unidades e $S_{2}^{2} = 10,8$ . AASs em ambos, $n = 3$ .

alocação	$n_{1}$	$n_{2}$	parcela 1	parcela 2	Var
AL1	1	2	5,37	1,27	6,64
AL2	2	1	1,34	3,38	4,72

$6,64 / 4,72 ≅ 1,41$ : a AL2 reduz a variância em 29%, de graça.

Por quê. A AL2 manda mais amostra para o estrato mais variável — $S_{1}^{2} = 57$ contra 11 — mesmo sendo o estrato menor.

A intuição que vai virar fórmula

Amostre mais onde há mais o que descobrir. Um estrato homogêneo já se revela com poucas unidades; um estrato bagunçado precisa de mais.

Isso, balanceado pelo tamanho do estrato, é a alocação de Neyman do passo 9.

Um estrato tem variância zero (todos iguais). Quantas unidades você sorteia dele?

Uma. Ela já revela o valor de todos — a média do estrato fica conhecida exatamente.

Qualquer unidade a mais é desperdício: use-a em outro estrato. Neyman formaliza isso com $n_{h} \propto W_{h} σ_{h}$ , que dá zero quando $σ_{h} = 0$ .

7 Alocação proporcional

Passo 7 de 12

Reparta $n$ como a população está repartida. Estrato com 30% da população recebe 30% da amostra.

É a “amostra representativa” do senso comum — e aqui, pela primeira vez, com nome e variância calculada.

No exemplo

$n = 4$ , $W_{A} = 0,375$ :

$n_{A} = 4 \times 0,375 = 1,5$

$n_{B} = 4 \times 0,625 = 2,5$

$V_{pr} = 9 / 4 = 2,25$

Melhor que os 2,41 da alocação 2/2, que não era exatamente proporcional.

Teorema 4.2

Com $n_{h} = n W_{h}$ (4.8), acontecem duas coisas:

1. ${\bar{y}}_{es} = \bar{y}$ — a média simples da amostra toda já é o estimador certo. Os pesos cancelam.

2. A variância fica com uma cara memorável:

V_{pr} = \frac{σ_{d}^{2}}{n}

(4.9)

O que (4.9) quer dizer

A AE proporcional equivale a fazer uma AASc numa população cuja variância fosse $σ_{d}^{2}$ em vez de $σ^{2}$ .

Ou seja: você ganha exatamente $σ_{e}^{2} / n$ — nada mais, nada menos. No exemplo, $15 / 4 = 3,75$ , e de fato $6,00 - 2,25 = 3,75$ . ✓

Outro efeito da proporcional: a fração amostral fica a mesma em todos os estratos, $f_{h} = n / N$ . Todo mundo tem a mesma chance de entrar — o que torna a análise e a comunicação mais simples.

Qual a grande vantagem prática da proporcional sobre a de Neyman?

Ela não precisa de $σ_{h}$ . Só de $N_{h}$ , que você já tem por definição (hipótese (a)).

Neyman exige saber a variabilidade de cada estrato antes de coletar — o que quase nunca se sabe direito. É por isso que a proporcional é o padrão na prática.

8 Alocação uniforme

Passo 8 de 12 · o passo mais curto

O mesmo número em cada estrato, independentemente do tamanho.

Não é para estimar a média global com precisão — é para estimar cada estrato com a mesma precisão.

Corolário 4.3

Com $n_{h} = k = n / H$ :

V_{un} = \sum_{h} W_{h}^{2} \frac{σ_{h}^{2}}{k}

Quando usar: pesquisa que precisa publicar um número por região, e não só o total do país. Se a região pequena recebesse amostra proporcional, o número dela sairia com erro grande demais para publicar.

É o caso da alocação 2/2 do passo 1 — que deu 2,41, um pouco pior que os 2,25 da proporcional. Você paga um pouco na média global para poder falar de cada estrato.

Cinco estratos de tamanhos 1000, 50, 50, 50 e 50. Alocação uniforme com

n = 250

. Faz sentido?

Para a média global, não: o estrato de 1000 tem $W_{h} = 0,83$ e domina a variância, mas receberia só 50 unidades.

Para relatar cada estrato, sim: os quatro pequenos ganham 50 cada e saem com erro utilizável. É uma escolha entre dois objetivos, não um erro.

9 Alocação ótima, e o caso de Neyman

Passo 9 de 12

Amostre mais onde o estrato é grande, variável e barato.

Os três fatores aparecem literalmente na fórmula, um em cada lugar.

Teorema 4.3 — alocação ótima com custos

Hipóteses: as do Corolário 4.2, e custo linear $C = c_{0} + \sum c_{h} n_{h}$ (4.10).

n_{h} = n \frac{W_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}}}{\sum W_{k} σ_{k} / \sqrt{c_{k}}}

(4.12)

Ela resolve os dois problemas ao mesmo tempo: minimiza a variância com orçamento dado, e minimiza o custo com precisão dada.

$W_{h}$

estrato grande pesa mais na média — merece mais amostra

$σ_{h}$

estrato bagunçado precisa de mais observações

$1 / \sqrt{c_{h}}$

estrato caro merece menos — cada unidade custa mais

Por que — Cauchy–Schwarz em três linhas

Minimizar $\sum a_{h}^{2} / n_{h}$ com $\sum n_{h} = n$ , onde $a_{h} = W_{h} σ_{h}$ . Escreva $a_{h} = \frac{a_{h}}{\sqrt{n_{h}}} \sqrt{n_{h}}$ e aplique a desigualdade:

{(\sum_{h} a_{h})}^{2} ⩽ (\sum_{h} \frac{a_{h}^{2}}{n_{h}}) n

Logo $\sum a_{h}^{2} / n_{h} ⩾ {(\sum a_{h})}^{2} / n$ , com igualdade só quando $n_{h} \propto a_{h}$ .∎

Corolário 4.5 — Neyman

Se o custo por unidade é o mesmo em todos os estratos, o $\sqrt{c_{h}}$ cancela:

n_{h} = n \frac{N_{h} σ_{h}}{\sum N_{k} σ_{k}}, V_{ot} = \frac{{\bar{σ}}^{2}}{n}

(4.20)–(4.21)

com $\bar{σ} = \sum W_{h} σ_{h}$ , um desvio padrão médio dentro dos estratos.

E o tamanho total, quando o que está fixado é o orçamento (4.18) ou a precisão (4.19):

n = (C - c_{0}) \frac{\sum N_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}}}{\sum N_{h} σ_{h} \sqrt{c_{h}}}

(4.18)

Cuidado ao copiar (4.19) do livro: ela sai impressa com os dois fatores iguais a $\sum W_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}}$ . É gralha — um deles leva $\sqrt{c_{h}}$ no numerador.

Entrevistar no estrato rural custa 4× o urbano. Como isso muda a alocação?

O fator é $1 / \sqrt{c_{h}}$ , então o rural recebe $1 / \sqrt{4} = 1 / 2$ do que receberia se custasse igual.

Metade, não um quarto. A raiz suaviza a penalização — vale a pena pagar caro por alguma informação rural, só não por muita.

10 As três variâncias em fila

Passo 10 de 12 · o resultado que resume o capítulo

Ótima ⩽ proporcional ⩽ sem estratificar. Nunca ao contrário — desde que a alocação seja uma dessas duas.

E as duas diferenças têm nome: uma é a variação entre médias, a outra é a variação entre desvios.

Teorema 4.4

V_{ot} ⩽ V_{pr} ⩽ V_{c}

com $V_{c} = σ^{2} / n$ (AASc), $V_{pr} = σ_{d}^{2} / n$ (4.22) e $V_{ot} = {\bar{σ}}^{2} / n$ (4.21). As diferenças:

V_{pr} - V_{ot} = \frac{1}{n} \sum_{h} W_{h} {(σ_{h} - \bar{σ})}^{2} = \frac{σ_{dp}^{2}}{n}

(4.24)

V_{c} = V_{ot} + \frac{σ_{e}^{2}}{n} + \frac{σ_{dp}^{2}}{n}

(4.25)

A leitura: a AASc paga dois pedágios.

Um porque as médias dos estratos diferem — a proporcional já elimina esse. Outro porque os desvios diferem — só a ótima elimina esse.

O salto grande é a estratificação. Neyman refina, mas aqui rende quase nada — porque

σ_{A} = 2,94

σ_{B} = 3,03

são quase iguais, e é exatamente isso que (4.24) prevê.

As quatro contas do Exemplo 4.1 com $n = 4$ , lado a lado.
plano	$(n_{A}, n_{B})$	Var	EPA
AASc, sem estratificar	—	6,00	1,00
AE uniforme	(2 ; 2)	2,41	0,40
AE proporcional	(1,5 ; 2,5)	2,25	0,375
AE ótima (Neyman)	(1,47 ; 2,53)	2,2495	0,375

Quando vale a pena o trabalho extra de estimar

σ_{h}

e usar Neyman?

Quando os desvios padrão dos estratos são muito diferentes — é o que (4.24) diz: o ganho é $σ_{dp}^{2} / n$ , a variabilidade entre os desvios.

Caso típico: estratos por tamanho de empresa. As grandes têm faturamento muito mais disperso que as pequenas, e Neyman manda muito mais amostra para lá. No Exemplo 4.1 os desvios eram quase iguais, então não rendeu.

11 Intervalo de confiança e tamanho da amostra

Passo 11 de 12

O IC é o de sempre, com a variância do passo 5 e $s_{h}^{2}$ no lugar de $σ_{h}^{2}$ .

O tamanho da amostra tem uma pegadinha: você precisa decidir a forma da alocação antes de achar $n$ .

{\bar{y}}_{es} \pm z_{α} \sqrt{\sum_{h = 1}^{H} W_{h}^{2} \frac{s_{h}^{2}}{n_{h}}}

(4.30)

Por que a alocação vem antes do

n

A variância depende dos $n_{h}$ individualmente, não só da soma. Há infinitas maneiras de repartir um mesmo $n$ , com variâncias diferentes.

A saída: escreva $n_{h} = n w_{h}$ com os $w_{h}$ fixados, e aí sobra um $n$ só para resolver.

Com proporcional

n = \frac{σ_{d}^{2}}{D}

(4.31)

Compare com a AASc, $n = σ^{2} / D$ .

Com Neyman

n = \frac{{\bar{σ}}^{2}}{D}

Para o total, use $D / N^{2}$ no lugar de $D$ .

A economia de amostra é a razão $σ_{d}^{2} / σ^{2}$ . No Exemplo 4.1: $9 / 24 = 0,375$ . Para a mesma precisão, a estratificada precisa de 37,5% da amostra que a AASc precisaria.

Uma AASc precisaria de

n = 1600

. Com estratificação proporcional e

σ_{e}^{2} / σ^{2} = 0,3

, quantos bastam?

$σ_{d}^{2} / σ^{2} = 1 - 0,3 = 0,7$ , então $n = 0,7 \times 1600 = 1120$ .

480 entrevistas a menos, pela mesma precisão — só por ter usado a informação de estrato que você já tinha.

12 Proporções, e quando estratificar perde

Passo 12 de 12

Proporção é a mesma teoria com $σ_{h}^{2} = P_{h} Q_{h}$ .

E há duas maneiras de a estratificação não compensar — vale conhecer as duas.

Teoremas 4.5 e 4.6

Hipóteses: AE com reposição nos estratos, $Y_{h i}$ valendo 0 ou 1.

p_{es} = \sum_{h} W_{h} {\hat{P}}_{h}, V_{es} = \sum_{h} W_{h}^{2} \frac{P_{h} Q_{h}}{n_{h}}

(4.32)

Estimador da variância com $n_{h} - 1$ no denominador, e Neyman vira

n_{h} = n \frac{N_{h} \sqrt{P_{h} Q_{h}}}{\sum N_{k} \sqrt{P_{k} Q_{k}}}

(4.33)

Como $\sqrt{P Q}$ varia pouco para $P$ entre 0,2 e 0,8 (de 0,40 a 0,50), Neyman e proporcional quase coincidem em proporções moderadas. A diferença só aparece com proporções raras.

12.1 Os dois jeitos de não compensar

Não ganha nada

Se $σ_{e}^{2} = 0$ , o EPA é 1:

EPA [AEpr] = 1 - \frac{σ_{e}^{2}}{σ^{2}}

É o Exemplo 4.2: médias iguais, ganho zero. Você teve o trabalho e não levou nada.

Perde de verdade

Com alocação arbitrária (pesos $w_{h} = n_{h} / n$ quaisquer):

EPA = \sum_{h} W_{h} \frac{W_{h}}{w_{h}} {(\frac{σ_{h}}{σ})}^{2}

(4.27)

Isto pode passar de 1. Basta um estrato grande e variável receber amostra pequena.

Mais uma armadilha: a média simples da amostra estratificada

${\bar{y}}_{m} = \sum (n_{h} / n) {\bar{y}}_{h}$ é viesada para $μ$ , a menos que $n_{h} / n = W_{h}$ .

Use sempre os pesos da população ( $W_{h}$ ), nunca os da amostra. É só na alocação proporcional que os dois coincidem — e é por isso que lá a média simples funciona.

Essa ideia vira peso amostral nos capítulos 8 e 9.

Dois estratos iguais em tamanho. O estrato 1 tem

σ_{1}

três vezes maior. Você aloca 1/4 da amostra nele. Melhor ou pior que a AASc?

Você está fazendo o contrário do certo: mandando menos amostra para o estrato mais variável.

Em (4.27), o termo desse estrato tem $W_{h} / w_{h} = 0,5 / 0,25 = 2$ multiplicando um ${(σ_{1} / σ)}^{2}$ grande. O EPA passa de 1 — estratificar assim é pior que não estratificar.

✓ Fecho — agora feche a página

Escreva o capítulo de memória, de uma vez só

Papel, aba fechada, tudo o que lembrar — não passo por passo. Sai menos na hora e mais dois dias depois, e mais organizado.

Depois confira. O que não apareceu, releia só aquele passo.

Estratificar ajuda quando a variável de divisão está associada à de interesse.
$W_{h} = N_{h} / N$ , conhecido antes; $μ = \sum W_{h} μ_{h}$ (ponderada!).
$σ^{2} = σ_{d}^{2} + σ_{e}^{2}$ ; a estratificação elimina $σ_{e}^{2}$ .
Teorema 4.1: (a) $N_{h}$ conhecidos, (b) sorteios independentes, (c) ${\hat{μ}}_{h}$ não viesado.
Com AASc no estrato: $Var = \sum W_{h}^{2} σ_{h}^{2} / n_{h}$ — peso ao quadrado.
A alocação importa: 6,64 contra 4,72 no Exemplo 4.4.
Proporcional: $n_{h} = n W_{h}$ , $V_{pr} = σ_{d}^{2} / n$ , e ${\bar{y}}_{es} = \bar{y}$ .
Uniforme: para estimar cada estrato igual, não a média global.
Ótima: $n_{h} \propto W_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}}$ — grande, variável, barato.
$V_{ot} ⩽ V_{pr} ⩽ V_{c}$ ; os dois pedágios são $σ_{e}^{2}$ e $σ_{dp}^{2}$ .
Para achar $n$ , fixe a alocação antes; a economia é $σ_{d}^{2} / σ^{2}$ .
Proporções: $σ_{h}^{2} = P_{h} Q_{h}$ ; com alocação ruim, (4.27) passa de 1.

Se travou em algum item

Volte ao passo e refaça só a checagem, sem reler.

Os itens 3 e 10 são o eixo: quem souber a decomposição sabe dizer, sem conta nenhuma, se vale a pena estratificar e quanto se ganha.

+ Exercícios resolvidos

Depois do fecho · quinze exercícios, com a resposta comentada

Escolhi: a população de cinco estratos com as três alocações (4.1, e 4.5 sem reposição), os problemas de alocação com variância ou desvio padrão fixados (4.3, 4.4), o estimador ${\bar{y}}_{m}$ (4.6, com os teóricos 4.27 e 4.34), alocações desiguais no Exemplo 4.2 (4.7), a proporção com amostra piloto (4.8), a Tabela 2.8 estratificada (4.9), a enumeração completa de AASs × AEun na população de oito (4.10), alfabetização com CV fixado e custos (4.13), a AE proporcional das indústrias (4.14), as fazendas de leite (4.19), a partilha ótima de 10% (4.21) e o custo da alocação uniforme (4.24). Os teóricos 4.29, 4.30 e 4.31 estão demonstrados no corpo da aula.

Exercícios 4.1 e 4.5 — cinco estratos, três alocações, com e sem reposição

$h$	$N_{h}$	$μ_{h}$	$S_{h}^{2}$
1	117	7,3	1,31
2	98	6,9	2,03
3	74	11,2	1,13
4	41	9,1	1,96
5	45	9,6	1,74

(a) $μ$ e $σ^{2}$ . (b) Para $n = 80$ , as alocações proporcional e ótima. (c) Compare as variâncias com AASc e com AE ótima. (d) Idem com a proporcional. (4.5) Refaça com AASs dentro dos estratos.

A tabela dá $S_{h}^{2}$ ; as fórmulas com AASc usam $σ_{h}^{2} = \frac{N_{h} - 1}{N_{h}} S_{h}^{2}$ — a conversão muda a segunda casa. $N = 375$ , $W_{h} = 0,312, 0,261, 0,197, 0,109, 0,120$ .

(a) $μ = \sum W_{h} μ_{h} = 8,438$ ; por (4.4), $σ^{2} = σ_{d}^{2} + σ_{e}^{2} = 1,564 + 2,738 = 4,301$ . Repare: a variância entre é quase o dobro da dentro — os estratos têm médias bem distintas (6,9 a 11,2) e são internamente homogêneos. É o cenário ideal para estratificar.

(b) Proporcional: $80 W_{h} = 24,96, 20,91, 15,79, 8,75, 9,60$ → 25, 21, 16, 9, 9. Neyman, $80 N_{h} σ_{h} / \sum N_{h} σ_{h}$ : $22,9, 23,9, 13,4, 9,7, 10,1$ → 23, 24, 13, 10, 10. O estrato 2 (mais variável) ganha amostra; o 3 (menos variável) perde.

(c)–(d) $V_{c} = σ^{2} / 80 = 0,0538$ ; $V_{pr} = σ_{d}^{2} / 80 = 0,0195$ ; $V_{ot} = {\bar{σ}}^{2} / 80 = 0,0193$ . EPA: 0,364 (proporcional) e 0,359 (ótima). A estratificação corta a variância a pouco mais de um terço; a alocação ótima quase não acrescenta — porque os desvios padrões (1,14 a 1,42) são parecidos e $σ_{dp}^{2}$ é minúscula. Exatamente a leitura de (4.25).

(4.5) Sem reposição, $Var [{\bar{y}}_{es}] = \sum W_{h}^{2} (1 - n_{h} / N_{h}) S_{h}^{2} / n_{h}$ com as alocações arredondadas: 0,0156 (proporcional) e 0,0153 (Neyman). A AASs de 80 daria $(1 - 80 / 375) S^{2} / 80 = 0,0424$ . As frações amostrais ( $80 / 375 = 21 %$ ) já são grandes o bastante para o fator de finitude valer a pena: 20% a menos de variância em cada plano.

Nh <- c(117, 98, 74, 41, 45); mu <- c(7.3, 6.9, 11.2, 9.1, 9.6)
S2 <- c(1.31, 2.03, 1.13, 1.96, 1.74); N <- sum(Nh); W <- Nh / N
sig2 <- S2 * (Nh - 1) / Nh; sig <- sqrt(sig2); n <- 80
m <- sum(W * mu); sd2 <- sum(W * sig2); se2 <- sum(W * (mu - m)^2)
round(c(m, sd2, se2, sd2 + se2), 4)                    # (a)
## [1] 8.4379 1.5635 2.7376 4.3011
rbind(prop = n * W, neyman = n * Nh * sig / sum(Nh * sig))     # (b)
##          [,1]  [,2]  [,3] [,4]  [,5]
## prop   24.96 20.91 15.79 8.75  9.60
## neyman 22.90 23.86 13.42 9.74 10.08
Vc <- (sd2 + se2) / n; Vpr <- sd2 / n; Vot <- sum(W * sig)^2 / n
round(c(Vc, Vpr, Vot, Vpr / Vc, Vot / Vc), 4)          # (c), (d)
## [1] 0.0538 0.0195 0.0193 0.3635 0.3587

Exercício 4.3 — três metas de precisão, dois estratos

$W_{1} = 0,8$ , $σ_{1} = 2$ ; $W_{2} = 0,2$ , $σ_{2} = 4$ ; AASc. Ache $n_{1}, n_{2}$ tais que: (a) o desvio padrão de ${\bar{y}}_{es}$ é 0,1 e $n$ é mínimo; (b) o desvio padrão da média de cada estrato é 0,1; (c) o desvio padrão da diferença entre as médias é 0,1.

(a) Minimizar $n$ com $V_{es} = 0,01$ fixa é o Corolário 4.4(ii) com custo constante: Neyman, $n = {(\sum W_{h} σ_{h})}^{2} / V_{es} = {(1,6 + 0,8)}^{2} / 0,01 = 576$ , repartidos na proporção $W_{h} σ_{h}$ = 1,6 : 0,8 → $n_{1} = 384$ , $n_{2} = 192$ . (Conferindo: $0,64 \cdot 4 / 384 + 0,04 \cdot 16 / 192 = 0,01$ .) (b) $σ_{h}^{2} / n_{h} = 0,01$ → 400 e 1 600: a meta por estrato ignora os pesos e exige muito mais do estrato pequeno e variável. (c) $Var [{\bar{y}}_{1} - {\bar{y}}_{2}] = σ_{1}^{2} / n_{1} + σ_{2}^{2} / n_{2} = 0,01$ com $n$ mínimo: é Neyman com pesos iguais ( $n_{h} \propto σ_{h}$ ), $n = {(σ_{1} + σ_{2})}^{2} / 0,01 = 3600$ → 1 200 e 2 400. Três objetivos, três alocações: a “melhor” depende do que se quer estimar.

Exercício 4.4 — poupança: proporção e quantia com o mesmo desenho

AE com reposição; de uma pesquisa passada, $W_{h} = 0,6, 0,3, 0,1$ ; $P_{h} = 0,20, 0,40, 0,60$ (têm poupança); $σ_{h} = 9, 18, 52$ (quantia). Com custo constante, os menores $n$ e $n_{h}$ tais que (a) a proporção tenha erro padrão 0,02; (b) a quantia média tenha erro padrão R$ 2. Qual usar?

(a) Neyman para proporções: $σ_{h} = \sqrt{P_{h} Q_{h}} = 0,40, 0,49, 0,49$ ; $\sum W_{h} σ_{h} = 0,436$ ; $n = {0,436}^{2} / {0,02}^{2} = 475,2$ → 476, com $n_{h} \propto W_{h} σ_{h}$ → 262, 160, 54. (b) $\sum W_{h} σ_{h} = 5,4 + 5,4 + 5,2 = 16$ ; $n = 16^{2} / 4 = 64$ → 22, 22, 20. Qual usar? A pesquisa tem os dois objetivos, então o desenho tem de atender ao mais exigente: $n = 476$ com a alocação de (a). Com ela, a quantia média fica com erro padrão $\sqrt{\sum W_{h}^{2} σ_{h}^{2} / n_{h}} = \sqrt{0,36 \cdot 81 / 262 + 0,09 \cdot 324 / 160 + 0,01 \cdot 2704 / 54} = 0,89$ , bem abaixo dos R$ 2 pedidos. Repare que as duas alocações ótimas são diferentes (a proporção pede 262/160/54; a quantia, quase uniforme, 22/22/20, porque o estrato 3 tem $σ_{h}$ enorme): com vários objetivos, nenhuma alocação é ótima para todos — um compromisso, como o proporcional, costuma ser a saída.

Exercícios 4.6, 4.27 e 4.34 — o estimador ${\bar{y}}_{m}$ e o seu viés

(4.27) Mostre que ${\bar{y}}_{m} = \sum (n_{h} / n) {\bar{y}}_{h}$ (4.35) é viesado para $μ$ , a não ser que $n_{h} / n = N_{h} / N$ . (4.34) Encontre o seu EQM. (4.6) Na população do Exemplo 4.1 com $U_{1} = {1, 2, 4, 7}$ , $U_{2} = {3, 5, 6, 8}$ e AASc de 2 em cada, encontre $Var [{\bar{y}}_{es}]$ e $EQM [{\bar{y}}_{m}]$ . Qual é melhor?

(4.27) Com $w_{h} = n_{h} / n$ , $E [{\bar{y}}_{m}] = \sum w_{h} μ_{h}$ , enquanto $μ = \sum W_{h} μ_{h}$ . O viés é $B = \sum (w_{h} - W_{h}) μ_{h}$ , que é zero para toda população só se $w_{h} = W_{h}$ (pode zerar por coincidência se as $μ_{h}$ forem iguais). ${\bar{y}}_{m}$ é simplesmente a média da amostra toda, $\bar{y}$ : ignorar os pesos é tratar a amostra estratificada como se fosse AAS. (4.34) $EQM = Var + B^{2} = \sum w_{h}^{2} σ_{h}^{2} / n_{h} + B^{2} = \frac{1}{n} \sum w_{h} σ_{h}^{2} + {[\sum (w_{h} - W_{h}) μ_{h}]}^{2}$ — e o viés não cai com $n$ .

(4.6) $D_{1} = (13, 17, 5, 19)$ , $μ_{1} = 13,5$ , $σ_{1}^{2} = 28,75$ ; $D_{2} = (6, 10, 12, 6)$ , $μ_{2} = 8,5$ , $σ_{2}^{2} = 6,75$ . $Var [{\bar{y}}_{es}] = \frac{1}{4} \cdot \frac{28,75}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{6,75}{2} = 4,44$ . E ${\bar{y}}_{m}$ ? Aqui $n_{1} / n = n_{2} / n = 1 / 2 = W_{1} = W_{2}$ : a alocação é proporcional, ${\bar{y}}_{m} = {\bar{y}}_{es}$ exatamente, viés zero e $EQM = 4,44$ . Empate — é o caso do Teorema 4.2. Para ver a diferença, mude para $n_{1} = 3$ , $n_{2} = 1$ : ${\bar{y}}_{es}$ continua não viesado com variância $\frac{1}{4} \frac{28,75}{3} + \frac{1}{4} \frac{6,75}{1} = 4,08$ , mas ${\bar{y}}_{m}$ passa a ter viés $(0,75 - 0,5) 13,5 + (0,25 - 0,5) 8,5 = 1,25$ e $EQM = \frac{1}{4} (0,75 \cdot 28,75 + 0,25 \cdot 6,75) + {1,25}^{2} = 5,81 + 1,56 = 7,37$ . Pesos errados custam caro.

Exercício 4.7 — alocações 1/3 e 3/1 nos estratos do Exemplo 4.2

Estratos do Exemplo 4.2 ( $σ_{1}^{2} = 24,69$ , $σ_{2}^{2} = 22,19$ , $W_{h} = 1 / 2$ ), AASc. $E [{\bar{y}}_{es}]$ e $Var [{\bar{y}}_{es}]$ com (a) $n_{1} = 1$ , $n_{2} = 3$ ; (b) $n_{1} = 3$ , $n_{2} = 1$ .

$E [{\bar{y}}_{es}] = 11$ nos dois casos — o Teorema 4.1 não depende da alocação. (a) $\frac{1}{4} (24,69 / 1 + 22,19 / 3) = 8,02$ . (b) $\frac{1}{4} (24,69 / 3 + 22,19 / 1) = 7,60$ . Ambas piores que a uniforme 2/2 (5,86) e que a AASc de 4 (6,00): com estratos de mesmo tamanho e variâncias parecidas, qualquer desequilíbrio só perde — o EPA (4.27) passa de 1 (1,34 e 1,27). É o contraexemplo que a seção 4.5 anunciou.

Exercício 4.8 — proporção com amostra piloto: AASc, proporcional e ótima

$W_{h} = 0,5, 0,3, 0,2$ ; piloto: ${\hat{P}}_{h} = 0,52, 0,40, 0,60$ . (a) Variância estimada com AASc de 600. (b) Tamanho da AE proporcional com a mesma variância. (c) Com esse $n$ , a repartição ótima e sua variância. (d) Conclusões.

(a) $P = \sum W_{h} P_{h} = 0,26 + 0,12 + 0,12 = 0,50$ ; $V_{c} = 0,25 / 600 = 0,000417$ . (b) $V_{pr} = \sum W_{h} P_{h} Q_{h} / n = 0,2448 / n$ ; igualando a 0,000417, $n = 587,5$ → 588 (294, 176, 118). (c) Neyman com $\sqrt{P_{h} Q_{h}} = 0,4996, 0,4899, 0,4899$ : 297, 175, 116, $V_{ot} = 0,000416$ . (d) A estratificação economiza 12 entrevistas em 600 (2%), e a alocação ótima é indistinguível da proporcional. Motivo: as proporções dos estratos (0,40 a 0,60) estão perto de 1/2, então $σ_{e}^{2} = \sum W_{h} {(P_{h} - P)}^{2} = 0,0052$ é minúscula frente a $P Q = 0,25$ , e os $\sqrt{P_{h} Q_{h}}$ são quase iguais. Para proporções moderadas, estratificar serve para as subpopulações e para a administração, não para a precisão. Compare com o 4.13.

Exercício 4.9 — a Tabela 2.8 em três estratos de 60

(a) AASc de $n = 54$ : $\bar{y}$ e $Var [\bar{y}]$ . (b) Estratos = unidades 1–60, 61–120, 121–180; AASc de 18 em cada: ${\bar{y}}_{es}$ e $Var [{\bar{y}}_{es}]$ . (c) Compare.

Como a população é conhecida, as variâncias verdadeiras se calculam sem sortear nada: $σ^{2} = 407,5$ , logo $Var [\bar{y}] = 407,5 / 54 = 7,55$ . Os estratos pela ordem da lista: $μ_{h} = 28,6, 20,8, 6,7$ e $σ_{h}^{2} = 544,8, 326,3, 105,1$ — a tabela está grosso modo em ordem decrescente, então cortá-la em terços estratifica de verdade ( $σ_{e}^{2} = 82,1$ , $σ_{d}^{2} = 325,4$ ). $Var [{\bar{y}}_{es}] = \frac{1}{9} \cdot \frac{544,8 + 326,3 + 105,1}{18} = 6,03$ : EPA = 0,80. As estimativas de uma realização (índices sorteados com semente 2004, listados no código): $\bar{y} = 14,8$ (a AASc caiu pesada nos índices altos, os condomínios pequenos) e ${\bar{y}}_{es} = 19,9$ , para $μ = 18,7$ . A estratificação impede exatamente esse tipo de azar: garante 18 unidades de cada terço da lista.

# Y: o vetor do Exercício 2.2. Variâncias verdadeiras:
sig2 <- function(x) mean((x - mean(x))^2); h <- rep(1:3, each = 60)
c(sig2(Y) / 54, sum((1/3)^2 * tapply(Y, h, sig2) / 18))
## [1] 7.545777 6.026267
# uma realização (índices sorteados com reposição, semente 2004):
i54 <- c(1,6,6,10,13,17,25,25,27,31,34,53,53,54,56,63,63,68,68,72,76,76,77,
         83,89,96,99,99,101,105,110,111,112,112,116,120,121,125,126,127,127,
         128,128,129,135,137,148,150,151,158,164,165,167,174)
s1 <- c(2,5,19,19,22,23,31,31,34,35,35,43,47,48,50,55,57,57)
s2 <- c(66,68,69,78,79,84,89,90,97,102,105,110,111,114,115,117,119,120)
s3 <- c(122,126,126,127,128,132,135,136,139,142,145,152,155,168,172,175,179,180)
c(mean(Y[i54]), mean(c(mean(Y[s1]), mean(Y[s2]), mean(Y[s3]))))
## [1] 14.77778 19.87037

Exercício 4.10 — AASs × AE uniforme, enumeradas por completo

Na população do Exemplo 4.1: (a) construa $S_{AASs}$ com $n = 4$ e a distribuição de $\bar{y}$ ; (b) com $n_{1} = n_{2} = 2$ (uniforme, AASs em cada estrato), construa $S_{AEun}$ e a distribuição de ${\bar{y}}_{es}$ ; (c) compare.

(a) $(\binom{8}{4}) = 70$ amostras, 1/70 cada; $\bar{y}$ toma 29 valores, de 6,75 (amostra {3, 4, 5, 8}: 6, 5, 10, 6) a 15,25 ({1, 2, 6, 7}: 13, 17, 12, 19), com $E [\bar{y}] = 11$ e $Var [\bar{y}] = 24 / 7 = 3,43$ — confere com $(1 - 4 / 8) S^{2} / 4$ , $S^{2} = 192 / 7$ . (b) $(\binom{3}{2}) (\binom{5}{2}) = 30$ amostras, 1/30 cada, ${\bar{y}}_{es} = \frac{3}{8} {\bar{y}}_{A} + \frac{5}{8} {\bar{y}}_{B}$ : 18 valores, de 8,875 a 13,9375, $E = 11$ , $Var = 423 / 256 = 1,65$ — confere com $\frac{9}{64} (1 - \frac{2}{3}) \frac{13}{2} + \frac{25}{64} (1 - \frac{2}{5}) \frac{11,5}{2}$ (com $S_{A}^{2} = 13$ , $S_{B}^{2} = 11,5$ ). (c) As duas distribuições têm a mesma média (não viés); a estratificada é muito mais concentrada — amplitude 5,1 contra 8,5, EPA = 1,65/3,43 = 0,48. A AE simplesmente proíbe as 40 amostras “desbalanceadas” (três ou quatro unidades do mesmo estrato) que a AASs permite, e são elas que produzem os extremos.

Y <- c(13, 17, 6, 5, 10, 12, 19, 6); A <- c(2, 6, 7); B <- c(1, 3, 4, 5, 8)
ya <- colMeans(matrix(Y[combn(8, 4)], 4))                       # (a) 70 amostras
yA <- colMeans(matrix(Y[A][combn(3, 2)], 2)); yB <- colMeans(matrix(Y[B][combn(5, 2)], 2))
yes <- as.vector(outer(3/8 * yA, 5/8 * yB, "+"))                # (b) 3 x 10 = 30 amostras
c(length(ya), mean(ya), mean((ya - 11)^2), length(yes), mean(yes), mean((yes - 11)^2))
## [1] 70.000000 11.000000  3.428571 30.000000 11.000000  1.652344

Exercício 4.13 — alfabetização: CV fixado, Neyman e custos

100 mil pessoas em 4 grupos etários: $N_{h} = 25000, 20000, 40000, 15000$ ; proporção de alfabetizados $P_{h} = 0,50, 0,30, 0,10, 0,01$ . (a) Tamanho da AE proporcional para CV do estimador de 10%, e a alocação ( $1 / N ≃ 0$ ). (b) Compare com a ótima, mesmo $n$ e custo unitário. (c) Custos 9, 4, 4, 1 e orçamento R$ 1 725: alocação ótima.

(a) $P = \sum W_{h} P_{h} = 0,125 + 0,06 + 0,04 + 0,0015 = 0,2265$ . CV 10% → erro padrão 0,02265, variância-alvo $V = 0,000513$ . $V_{pr} = \sum W_{h} P_{h} Q_{h} / n = 0,14199 / n$ → $n = 276,8$ → 277, alocados $277 W_{h}$ = 69, 55, 111, 42. (b) Neyman com $\sqrt{P_{h} Q_{h}} = 0,500, 0,458, 0,300, 0,0995$ : 98, 72, 95, 12. O estrato dos 50+ (1% alfabetizados, quase nenhuma variabilidade) cai de 42 para 12 entrevistas; os jovens sobem. $V_{ot} = 0,000446$ contra $V_{pr} = 0,000513$ : 13% a menos — aqui os $\sqrt{P_{h} Q_{h}}$ variam de 0,10 a 0,50 e Neyman compensa (compare com o 4.8). (c) Teorema 4.3: $n_{h} \propto W_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}} = 0,0417, 0,0458, 0,0600, 0,0149$ , e (4.18) com $C^{'} = 1725$ dá $n = 344,5$ : 88, 97, 127, 32 (custo $9 \cdot 88 + 4 \cdot 97 + 4 \cdot 127 + 32 = 1720$ , dentro do orçamento; variância 0,000383). O estrato caro (jovens, custo 9) perde amostra para os baratos.

Nh <- c(25000, 20000, 40000, 15000); P <- c(.5, .3, .1, .01); W <- Nh / sum(Nh)
Pg <- sum(W * P); V <- (0.1 * Pg)^2; n <- sum(W * P * (1 - P)) / V
round(c(Pg, V, n), 4); round(n * W, 1)                        # (a)
## [1]   0.2265   0.0005 276.7617
## [1]  69.2  55.4 110.7  41.5
s <- sqrt(P * (1 - P)); round(277 * W * s / sum(W * s), 1)   # (b)
c(sum(W * s)^2 / 277, sum(W * P * (1 - P)) / 277)
## [1] 98.5 72.2 94.5 11.8
## [1] 0.0004462307 0.0005125812
cc <- c(9, 4, 4, 1); k <- W * s / sqrt(cc)                    # (c)
nC <- 1725 * sum(k) / sum(W * s * sqrt(cc)); round(nC * k / sum(k), 1)
## [1]  88.4  97.2 127.3  31.7

Exercício 4.14 — empregados por indústria, AE proporcional

$h$	Faturamento	$N_{h}$	$n_{h}$	${\bar{y}}_{h}$	$S_{h}^{2}$
1	Baixo	4 000	200	80	1 600
2	Médio-baixo	10 000	500	180	2 500
3	Médio-alto	5 400	270	270	2 500
4	Alto	600	30	400	5 600

(a) Estime $μ$ e $τ$ . (b) As variâncias dos estimadores. (c) Com custos $c_{h} = 3 + h$ , a partição ideal das 1 000 unidades (use as variâncias amostrais como populacionais). (d) Se as 1 000 fossem AAS, qual seria a variância? Compare.

$N = 20000$ , $f_{h} = 0,05$ em todos (é proporcional). (a) ${\bar{y}}_{es} = 0,2 \cdot 80 + 0,5 \cdot 180 + 0,27 \cdot 270 + 0,03 \cdot 400 = 190,9$ empregados; $T_{es} = 3818000$ . (Com alocação proporcional, ${\bar{y}}_{es}$ é a média simples das 1 000 — Teorema 4.2.) (b) AASs nos estratos: $var [{\bar{y}}_{es}] = \sum W_{h}^{2} (1 - 0,05) S_{h}^{2} / n_{h} = 2,29$ (erro padrão 1,51 empregados); $var [T_{es}] = N^{2} \times 2,29$ , erro padrão 30 281. (c) $n_{h} \propto W_{h} S_{h} / \sqrt{c_{h}}$ com custos 4, 5, 6, 7: 186, 519, 256, 39 — quase a proporcional, porque os $S_{h}$ (40 a 75) e os custos variam pouco; o estrato alto ganha de 30 para 39. (d) A AAS de 1 000 veria a variância total $S^{2} ≃ S_{d}^{2} + σ_{e}^{2} = 2413 + 5520 = 7933$ , logo $(1 - 0,05) 7933 / 1000 = 7,54$ . Razão 2,29/7,54 = 0,30: o faturamento explica 70% da variância do número de empregados, e a estratificação captura tudo isso.

Nh <- c(4000, 10000, 5400, 600); nh <- c(200, 500, 270, 30)
yh <- c(80, 180, 270, 400); S2 <- c(1600, 2500, 2500, 5600)
N <- sum(Nh); W <- Nh / N; yes <- sum(W * yh)
v <- sum(W^2 * (1 - nh / Nh) * S2 / nh)
c(yes, N * yes, v, sqrt(v), N * sqrt(v))                       # (a), (b)
## [1]     190.90000 3818000.00000       2.29235       1.51405   30281.01716
a <- W * sqrt(S2) / sqrt(3 + 1:4); round(1000 * a / sum(a), 1)  # (c)
## [1] 185.7 519.0 255.9  39.4
S2all <- sum(W * S2) + sum(W * (yh - yes)^2)                   # (d)
c(S2all, (1 - 0.05) * S2all / 1000, v / ((1 - 0.05) * S2all / 1000))
## [1] 7933.1900000    7.5365305    0.3041652

Exercício 4.19 — vacas leiteiras: total, IC e a alocação que deveria ter sido

Quatro categorias de fazendas, $N_{h} = 72, 37, 50, 11$ ; amostra de 28 fazendas, proporcional. Vacas: estrato 1 — 61, 47, 44, 70, 28, 39, 51, 52, 101, 49, 54, 71; estrato 2 — 160, 148, 89, 139, 142, 93; estrato 3 — 26, 21, 19, 34, 28, 15, 20, 24; estrato 4 — 17, 11. (a) Estime o total de vacas e dê um IC de 90%. (b) Com custos iguais, qual seria a alocação ótima?

(a) Médias por estrato 55,6, 128,5, 23,4 e 14,0; $s_{h}^{2} = 351, 897, 35, 18$ . $T_{es} = \sum N_{h} {\bar{y}}_{h} = 4002 + 4754,5 + 1168,8 + 154 = 10079$ vacas; $var [T_{es}] = \sum N_{h}^{2} (1 - f_{h}) s_{h}^{2} / n_{h}$ , erro padrão 555; IC de 90%: $10079 \pm 1,645 \times 555$ = (9 166; 10 992). Mais de 80% da variância vem do estrato 2 (grandes fazendas de leite, $s_{h} = 30$ , só 6 na amostra). (b) Neyman, $n_{h} \propto N_{h} s_{h} = 1349, 1108, 298, 47$ : $13,5, 11,1, 3,0, 0,5$ → 13, 11, 3, 1: quase dobra o estrato 2 e reduz os estratos 3 e 4, homogêneos, ao mínimo. (Um estrato com $n_{h} = 1$ não permite estimar $s_{h}^{2}$ ; na prática fixa-se um mínimo de 2.)

d <- list(c(61,47,44,70,28,39,51,52,101,49,54,71), c(160,148,89,139,142,93),
          c(26,21,19,34,28,15,20,24), c(17,11))
Nh <- c(72, 37, 50, 11); nh <- sapply(d, length); yh <- sapply(d, mean); s2 <- sapply(d, var)
Tt <- sum(Nh * yh); ep <- sqrt(sum(Nh^2 * (1 - nh / Nh) * s2 / nh))
round(c(Tt, ep, Tt + c(-1, 1) * qnorm(0.95) * ep))
## [1] 10079   555  9166 10992
round(28 * Nh * sqrt(s2) / sum(Nh * sqrt(s2)), 1)                # (b)
## [1] 13.5 11.1  3.0  0.5

Exercício 4.21 — partilha ótima de uma amostra de 10%

$N_{h} = 2500, 850, 130$ ; $S_{h} = 8, 24, 80$ . (a) Numa AE de 10% da população, a partilha ótima. (b) Compare a variância da média com a de uma AAS com $S = 18$ .

(a) $N = 3480$ , $n = 348$ . $N_{h} S_{h} = 20000, 20400, 10400$ : $n_{h} = 137, 140, 71$ . O estrato 3 tem 3,7% da população e leva 20% da amostra; a fração amostral nele é $71 / 130 = 55 %$ — quase um censo do estrato mais variável, que é o que Neyman recomenda quando um estrato pequeno domina a variância. (b) Com AASs nos estratos, $V_{ot} = \sum W_{h}^{2} (1 - f_{h}) S_{h}^{2} / n_{h} = 0,490$ ; a AASs de 348 com $S^{2} = 324$ dá $(1 - 0,1) 324 / 348 = 0,838$ : EPA = 0,58. (O $S = 18$ dado inclui a variância entre médias, que o enunciado não fornece; por isso não dá para separar quanto do ganho é $σ_{e}^{2}$ e quanto é $σ_{dp}^{2}$ — mas com desvios de 8 a 80, o segundo termo é grande.)

Exercício 4.24 (teórico) — quanto custa a alocação uniforme

Dois estratos, alocação uniforme por conveniência administrativa. Mostre que $(V_{un} - V_{ot}) / V_{ot} = {(\frac{r - 1}{r + 1})}^{2}$ (4.34), com $r = n_{1} / n_{2}$ da alocação ótima; avalie para o 4.3(a). AASc.

Chame $a = W_{1} σ_{1}$ e $b = W_{2} σ_{2}$ ; na alocação ótima $n_{h} \propto W_{h} σ_{h}$ , logo $r = a / b$ . Com $n_{1} = n_{2} = n / 2$ , $V_{un} = \frac{2}{n} (a^{2} + b^{2})$ ; por (4.21), $V_{ot} = \frac{1}{n} {(a + b)}^{2}$ . Então

\frac{V_{un} - V_{ot}}{V_{ot}} = \frac{2 a^{2} + 2 b^{2} - {(a + b)}^{2}}{{(a + b)}^{2}} = \frac{{(a - b)}^{2}}{{(a + b)}^{2}} = {(\frac{r - 1}{r + 1})}^{2} . ∎

No 4.3(a), $r = 384 / 192 = 2$ : a uniforme custa ${(1 / 3)}^{2} = 11 %$ a mais de variância (0,0111 contra 0,0100 com $n = 576$ ). A fórmula diz que o preço da conveniência é pequeno enquanto $r$ fica entre 1/2 e 2, e explode quando um estrato deveria receber muito mais que o outro ( $r = 10$ : 67%).

Sobre esta versão. Mesmo conteúdo do capítulo 4 de Bolfarine & Bussab (págs. 93–126), reorganizado em doze passos curtos, cada um com o caso numérico antes do símbolo e uma pergunta de recuperação no fim. Todos os valores foram recalculados. Duas observações sobre o impresso: a fórmula (4.19) sai com os dois fatores iguais a $\sum W_{h} σ_{h} / \sqrt{c_{h}}$ , e o correto leva $\sqrt{c_{h}}$ no numerador de um deles; e o Exemplo 4.1 fornece $S_{h}^{2}$ enquanto as fórmulas com reposição pedem $σ_{h}^{2}$ — a conversão é por $(N_{h} - 1) / N_{h}$ .

1 Por que estratificar

2 Índices duplos, e o peso Wh

No exemplo

Em símbolos

3 A variância se parte em duas

No Exemplo 4.1

A demonstração, em uma linha

4 O estimador, e as três hipóteses que ele pede

5 AASc dentro dos estratos

6 A alocação muda tudo

7 Alocação proporcional

No exemplo

Teorema 4.2

8 Alocação uniforme

9 Alocação ótima, e o caso de Neyman

10 As três variâncias em fila

11 Intervalo de confiança e tamanho da amostra

Com proporcional

Com Neyman

12 Proporções, e quando estratificar perde

12.1 Os dois jeitos de não compensar

Não ganha nada

Perde de verdade

✓ Fecho — agora feche a página

Escreva o capítulo de memória, de uma vez só

+ Exercícios resolvidos

Exercícios 4.1 e 4.5 — cinco estratos, três alocações, com e sem reposição

Exercício 4.3 — três metas de precisão, dois estratos

Exercício 4.4 — poupança: proporção e quantia com o mesmo desenho

Exercícios 4.6, 4.27 e 4.34 — o estimador y¯m e o seu viés

Exercício 4.7 — alocações 1/3 e 3/1 nos estratos do Exemplo 4.2

Exercício 4.8 — proporção com amostra piloto: AASc, proporcional e ótima

Exercício 4.9 — a Tabela 2.8 em três estratos de 60

Exercício 4.10 — AASs × AE uniforme, enumeradas por completo

Exercício 4.13 — alfabetização: CV fixado, Neyman e custos

Exercício 4.14 — empregados por indústria, AE proporcional

Exercício 4.19 — vacas leiteiras: total, IC e a alocação que deveria ter sido

Exercício 4.21 — partilha ótima de uma amostra de 10%

Exercício 4.24 (teórico) — quanto custa a alocação uniforme

2 Índices duplos, e o peso $W_{h}$

Exercícios 4.6, 4.27 e 4.34 — o estimador ${\bar{y}}_{m}$ e o seu viés