Menu · Bolfarine & Bussab · Capítulo 2 · págs. 37–60

Definições e notações básicas

O capítulo que dá nome a tudo. São doze ideias, e a última — duas fórmulas — sustenta os capítulos 3 e 4 inteiros.

Ao final você deve saber fazer

Escrever $U$ , $D$ e $θ (D)$ de uma população dada.
Calcular $τ$ , $μ$ , $σ^{2}$ , $S^{2}$ e dizer qual dos dois usar.
Listar $S_{A}$ de um plano e conferir que as probabilidades somam 1.
Montar a distribuição amostral de uma estatística e tirar dela $E$ e $Var$ .
Calcular $π_{i}$ , $π_{i j}$ , viés e EQM.
Reconhecer quando (2.14)–(2.15) valem — e quando não valem.

Como usar esta página

Um passo por vez. Cada passo cabe numa tela e termina com uma pergunta. Responda antes de abrir. Errar e conferir fixa mais do que reler.

No fim há um fecho: fechar a página e escrever de memória o capítulo inteiro. Parece pior na hora — e rende mais depois.

1 A população é uma lista de números fixos

Passo 1 de 12

Aqui a população não é um modelo de probabilidade. É uma lista de números que já existem.

O acaso entra só no sorteio. Isso separa este curso de toda a inferência que você já viu.

No exemplo

Três domicílios. A renda de cada um:

12 30 18

Esses três números não vão mudar. A renda do domicílio 2 é 30.

Em símbolos

$U = {1, 2, 3}$ — os rótulos.

$Y_{i}$ — o valor da unidade $i$ .

$D = (12, 30, 18)$ — o parâmetro populacional.

$θ (D)$ — qualquer conta feita com a lista inteira.

A população do Exemplo 2.1. Ela reaparece em quase todo o capítulo — vale decorar.

A mesma população tem outras variáveis: idade $(20, 30, 40)$ , nº de trabalhadores $(1, 3, 2)$ . Cada uma dá o seu $D$ .

E $θ$ pode ser qualquer coisa: a média das idades é 30; a renda por trabalhador é $(12 + 30 + 18) / (1 + 3 + 2) = 10$ . Guarde esse 10 — ele volta no passo 10.

A renda 30 do domicílio 2 é uma variável aleatória?

Não. É uma constante. Ninguém sorteou aquele 30.

O que é aleatório é qual domicílio entra na amostra. Por isso as letras maiúsculas ( $Y_{i}$ ) são fixas e as minúsculas ( $y_{i}$ , o que você observa na posição $i$ da amostra) é que são aleatórias.

2 Quatro parâmetros, e um par que confunde

Passo 2 de 12

Total, média, e duas variâncias diferentes.

As duas variâncias existem porque uma aparece na amostragem com reposição e a outra sem.

Comece pela conta que os dois compartilham. Chame de SQ a soma dos quadrados dos desvios em torno da média:

SQ = {(12 - 20)}^{2} + {(30 - 20)}^{2} + {(18 - 20)}^{2} = 168

Total

$τ = \sum_{i} Y_{i}$

12+30+18 = 60

Média

$μ = τ / N$

60/3 = 20

Variância, divisor N

$σ^{2} = \frac{SQ}{N}$

168/3 = 56

Variância, divisor N−1

$S^{2} = \frac{SQ}{N - 1}$

168/2 = 84

Mesmo SQ, divisores diferentes. É só isso que separa as duas. Logo:

S^{2} = \frac{N}{N - 1} σ^{2}

A regra prática, e é só isto

Com reposição → $σ^{2}$ . Sem reposição → $S^{2}$ .

Não tente entender agora por quê. Isso é o passo 11. Por ora, decore o par.

Mais dois nomes, que são casos particulares:

Proporção — se cada $Y_{i}$ é 0 ou 1, então $μ = P$ e $σ^{2} = P Q$ . Toda fórmula de média serve para proporção.
Razão — $R = τ (Y) / τ (X)$ , a razão dos totais. Diferente de $\bar{R}$ , a média das razões individuais.

Y <- c(12, 30, 18)
c(sum(Y), mean(Y), mean((Y - mean(Y))^2), var(Y))
## [1] 60 20 56 84

A população é (2, 4, 6, 8). Quanto valem

σ^{2}

S^{2}

$μ = 5$ . Desvios: −3, −1, 1, 3 → soma dos quadrados $= 20$ .

$σ^{2} = 20 / 4 = 5$ e $S^{2} = 20 / 3 ≅ 6,67$ .

Confere com $S^{2} = \frac{4}{3} \times 5$ . ✓

3 Amostra é uma sequência, não um conjunto

Passo 3 de 12

A ordem conta. A repetição também.

Parece detalhe de notação. É o que permite tratar com e sem reposição com a mesma máquina.

No exemplo

Sorteio duas vezes, repondo. Posso tirar:

$(1, 2)$ — primeiro o Ada, depois o Beto.

$(2, 1)$ — o contrário. É outra amostra.

$(1, 1)$ — o Ada duas vezes. Também vale.

Em símbolos

Definição 2.1. Amostra ordenada é qualquer sequência

s = (k_{1}, \dots, k_{n}), k_{i} \in U

Definição 2.4. $S (U)$ é o conjunto de todas elas, de qualquer tamanho.

Com

N = 3

n = 2

, quantas amostras ordenadas existem? E sem repetir rótulo?

9 ordenadas: $3^{2}$ . São (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3).

6 sem repetir rótulo ( $3 \times 2$ ), que correspondem a 3 pares distintos se a ordem também for ignorada: {1,2}, {1,3}, {2,3}.

4 Onde mora o acaso: $f_{i}$ e $δ_{i}$

Passo 4 de 12 · o passo mais importante do capítulo

Duas variáveis contam o que o sorteio fez com cada unidade da população.

Com elas, toda soma sobre a amostra vira uma soma sobre a população — e aí dá para calcular esperança.

No exemplo

Sorteei $s = (2, 2, 1)$ .

Quantas vezes cada um entrou?
unidade 1: uma vez · unidade 2: duas · unidade 3: nenhuma

Logo $f = (1, 2, 0)$ .

Quem entrou, sim ou não?
$δ = (1, 1, 0)$ .

Em símbolos

Definição 2.2.

$f_{i} (s)$ = número de vezes que $i$ aparece em $s$ .

δ_{i} (s) = {\begin{cases} 1, i \in s \\ 0, i \notin s \end{cases}

Sem reposição os dois coincidem: $f_{i} = δ_{i}$ .

Agora o movimento que vale o capítulo. O total da amostra pode ser escrito de duas formas:

À esquerda não dá para tirar esperança: não se sabe quais termos entram. À direita dá: os

Y_{i}

são constantes e saem para fora do

E

Com

D = (12, 30, 18)

s = (2, 2, 1)

, calcule

t (s)

pelas duas fórmulas.

Pela amostra: $30 + 30 + 12 = 72$ .

Pela população: $1 \times 12 + 2 \times 30 + 0 \times 18 = 72$ . ✓

Mesmo número, contas diferentes. A segunda é a que serve para a teoria.

5 Dois tamanhos diferentes

Passo 5 de 12

$n (s)$ conta sorteios. $ν (s)$ conta pessoas diferentes.

Com reposição eles diferem, e é por isso que sortear com reposição desperdiça informação.

No exemplo

$s = (2, 2, 1)$ : três sorteios, mas só duas pessoas entrevistadas.

$n = 3$ , $ν = 2$ .

Paguei três visitas e trouxe dois domicílios.

Em símbolos

Definição 2.3.

n (s) = \sum_{i = 1}^{N} f_{i} (s)

ν (s) = \sum_{i = 1}^{N} δ_{i} (s)

Sempre $ν ⩽ n$ .

Um plano em que

n (s)

é o mesmo para toda amostra tem nome. Qual, e por que importa?

Plano de tamanho fixo.

Importa porque é uma das duas hipóteses de (2.14)–(2.15), as fórmulas do passo 11 — e sem ela quase nada do capítulo 3 funciona.

6 O plano amostral é uma lista com probabilidades

Passo 6 de 12

Planejar a amostra = dizer quais amostras podem sair e com que chance cada uma.

Só isso. Nenhuma outra exigência.

No exemplo

Sorteio duas vezes, com reposição, cada domicílio com chance 1/3. Sai o plano A:

9 amostras possíveis, cada uma com $P (s) = 1 / 9$ .

11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33 — a soma dá 9 × 1/9 = 1. ✓

Em símbolos

Definição 2.5. Um planejamento amostral é uma função $P (s)$ sobre $S (U)$ com

P (s) ⩾ 0, \sum_{s} P (s) = 1

$S_{A}$ = as amostras com probabilidade positiva.

O livro usa cinco planos sobre a mesma população de três. Vale olhar o que muda de um para o outro:

Exemplo 2.6 — os cinco planos. Repare que só o A e o B são “razoáveis”.
Plano	O que é	Tam. fixo?	Todos alcançáveis?
A	AAS com reposição, $n = 2$ : 9 amostras, 1/9 cada	sim	sim
B	AAS sem reposição, $n = 2$ : 6 ordenadas, 1/6 cada	sim	sim
C	tamanho variável (1, 2 ou 3 sorteios)	não	sim
D	probabilidades desiguais e assimétricas	sim	sim
E	só algumas amostras têm chance	sim	não — $π_{13} = 0$

Por que o plano E é um problema

Nele as unidades 1 e 3 nunca aparecem juntas. Há informação sobre a população que nenhuma amostra desse plano consegue trazer.

Guarde o nome π₁₃ = 0: no capítulo 9 isso vira o motivo de o estimador de Horvitz–Thompson precisar de $π_{i j} > 0$ .

Um plano precisa ter tamanho fixo para ser válido?

Não. A Definição 2.5 pede só $P (s) ⩾ 0$ e soma 1. O plano C tem tamanho variável e é um plano legítimo.

Mas quase todos os resultados do livro pedem tamanho fixo. Plano válido e plano onde as fórmulas valem são coisas diferentes.

7 Estatística, e a distribuição que ela ganha

Passo 7 de 12

Uma conta feita na amostra é uma estatística. Como a amostra é sorteada, a conta vira variável aleatória.

A lista dos valores possíveis com suas probabilidades é a distribuição amostral.

Três definições que são quase a mesma coisa, ditas em ordem:

Definição 2.6 — dados da amostra. $d_{s}$ são os valores observados. Para $s = (1, 2)$ : $d_{s} = (12, 30)$ .
Definição 2.7 — estatística. Qualquer função desses valores. A média $\bar{y} = 21$ é uma.
Definição 2.8 — distribuição amostral. Percorra todas as amostras do plano, calcule a estatística em cada uma, some as probabilidades dos valores repetidos.

Fazendo isso para $\bar{y}$ no plano A: nove amostras, mas só seis valores distintos, porque (1,2) e (2,1) dão a mesma média.

As nove amostras colapsam em seis valores. O ponto de equilíbrio das barras é exatamente

μ

— é isso que “não viesado” quer dizer.

Por que 15 e 21 têm o dobro da chance de 12 e 30?

Porque vêm de duas amostras cada. A média 21 sai de (1,2) e de (2,1); a média 15 sai de (1,3) e (3,1).

Já 12 só sai de (1,1) e 30 só de (2,2) — uma amostra cada.

8 Esperança e variância são médias ponderadas pelo plano

Passo 8 de 12

Nada de fórmula nova: some valor × probabilidade sobre todas as amostras.

Trocar o plano muda a resposta, mesmo com a mesma estatística e o mesmo $n$ .

E [t] = \sum_{s} t (s) P (s), Var [t] = \sum_{s} {(t (s) - E [t])}^{2} P (s)

No plano A, com a distribuição do passo 7:

$E [\bar{y}] = \frac{12 + 2 \cdot 15 + 18 + 2 \cdot 21 + 2 \cdot 24 + 30}{9} = \frac{180}{9} = 20$ — não viesado.
$Var [\bar{y}] = 28$ .
Confira: $σ^{2} / n = 56 / 2 = 28$ . ✓ (com reposição → $σ^{2}$ , como no passo 2)

Agora o mesmo $n$ , sem reposição (plano B, lido sem ordem — três amostras: {12,30}, {12,18}, {30,18}):

Médias: 21, 15, 24, cada uma com 1/3.
$E [\bar{y}] = 20$ — também não viesado.
$Var [\bar{y}] = 14$ .
Confira: $(1 - \frac{2}{3}) \frac{84}{2} = 14$ . ✓ (sem reposição → $S^{2}$ )

28 contra 14

Mesmo $n$ , mesma estatística, mesma população. Metade da variância só por não repor.

Faz sentido: repondo, você paga por entrevistas que às vezes repetem a mesma pessoa. Esse número tem nome — EPA — e é o assunto do fim do capítulo 3.

D <- c(12, 30, 18)
S <- expand.grid(D, D)              # plano A: 9 amostras
yb <- rowMeans(S)
c(mean(yb), mean((yb - mean(yb))^2))
## [1] 20 28

Se o plano fosse “sorteie uma só unidade, com chance 1/3 cada”, quanto seria

Var [\bar{y}]

$n = 1$ , então $\bar{y}$ é o próprio valor sorteado: 12, 30 ou 18 com 1/3 cada.

$E = 20$ e $Var = σ^{2} = 56$ .

Bate com $σ^{2} / n$ para $n = 1$ . Com uma unidade só, a variância do estimador é a variância da população.

9 A chance de cada unidade entrar: $π_{i}$ e $π_{i j}$

Passo 9 de 12

Some as probabilidades de todas as amostras que contêm a unidade $i$ . Pronto: é $π_{i}$ .

Se algum $π_{i}$ der zero, aquela unidade é invisível para o plano.

No exemplo — plano A

Quais das 9 amostras contêm a unidade 1?

11, 12, 13, 21, 31 — são cinco.

$π_{1} = 5 / 9$ , e o mesmo para 2 e 3.

Contêm 1 e 2? Só 12 e 21. Logo $π_{12} = 2 / 9$ .

Em símbolos

Definição 2.9.

π_{i} = \sum_{s ∋ i} P (s) = E [δ_{i}]

π_{i j} = \sum_{s \supset {i, j}} P (s)

A igualdade $π_{i} = E [δ_{i}]$ é imediata: $δ_{i}$ vale 1 ou 0.

Em plano de tamanho fixo há um teste de aritmética grátis:

\sum_{i = 1}^{N} π_{i} = E [ν]

Sem reposição isso dá exatamente $n$ . Com reposição dá menos, porque $ν < n$ às vezes — no plano A, $3 \times 5 / 9 = 5 / 3$ , e de fato o número médio de domicílios distintos em 2 sorteios é 1,67.

No plano B (sem reposição,

n = 2

N = 3

), quanto vale

π_{i}

Três amostras não ordenadas, e cada unidade está em duas delas. Logo $π_{i} = 2 / 3$ .

Que é $n / N$ . E $\sum π_{i} = 3 \times 2 / 3 = 2 = n$ . ✓

10 Viés e EQM: errar no centro e errar no espalhamento

Passo 10 de 12

Viés é a distância entre o centro da distribuição amostral e o alvo.

EQM soma os dois defeitos: o centro errado e o espalhamento.

Volte ao 10 do passo 1 — a renda por trabalhador da população. Na amostra, a conta análoga é $r = (soma das rendas) / (soma dos trabalhadores)$ . Calculando nas 9 amostras do plano A:

O 12 solitário à direita é a amostra (1,1) — o domicílio de renda 12 e 1 trabalhador, contado duas vezes. Uma amostra em nove puxa o centro para cima.

Viés

B [\hat{θ}] = E [\hat{θ}] - θ

10,133 − 10 = 2/15

Variância

Var [\hat{θ}]

283/450 ≅ 0,629

EQM

Var + B^{2}

0,629 + 0,018 = 97/150

EQM [\hat{θ}] = E {[\hat{θ} - θ]}^{2} = Var [\hat{θ}] + B^{2} [\hat{θ}]

Julga-se o plano, não a amostra

“Não viesado” é propriedade da média sobre todas as amostras possíveis. A sua amostra pode estar longe do alvo — e nada nela avisa.

Por isso a resposta certa nunca é “deu 15, então errei”. É “sob este plano, $E [\bar{y}] = μ$ e o erro padrão é tanto”.

O livro imprime EQM = 0,6458 no Exemplo 2.14; sai do viés arredondado para 0,13. O valor exato é 97/150 = 0,6467.

Um estimador A tem viés 0 e variância 10. O B tem viés 2 e variância 3. Qual escolher?

EQM de A = 10 + 0 = 10. EQM de B = 3 + 4 = 7.

Pelo EQM, B — mesmo sendo viesado. Não viés não é sagrado; é um critério entre outros.

O livro quase sempre compara estimadores não viesados, e aí comparar EQM é o mesmo que comparar variância.

11 As duas fórmulas que sustentam os capítulos 3 e 4

Passo 11 de 12 · se você guardar uma coisa deste capítulo, guarde esta

Debaixo de duas hipóteses, a esperança e a variância do total amostral saem de graça.

Depois disso, cada plano novo é só descobrir a distribuição de $f_{i}$ .

(2.14) e (2.15)

Hipóteses: o plano é simétrico e de tamanho fixo. Com $t = \sum f_{i} Y_{i}$ :

E [t] = E [f] τ, Var [t] = Var [f] N S^{2}

O que cada hipótese quer dizer:

Simétrico

Todo $f_{i}$ tem a mesma distribuição. Nenhuma unidade é privilegiada.

Aí dá para escrever só $f$ , sem índice.

O plano D quebra isto: probabilidades desiguais.

Tamanho fixo

$n (s) = n$ para toda amostra do plano.

Com os dois juntos, $E [f] = n / N$ .

O plano C quebra isto: tamanho variável.

E é só isso que separa o capítulo 3 inteiro deste ponto. Olhe o que vem:

O capítulo 3 em uma linha por plano. Tudo o mais é substituição.
Plano	$f_{i} \sim$	$Var [f]$	daí sai
AAS com reposição	Binomial $(n, 1 / N)$	$\frac{n}{N} (1 - \frac{1}{N})$	$Var [\bar{y}] = σ^{2} / n$
AAS sem reposição	Bernoulli $(n / N)$	$\frac{n}{N} (1 - \frac{n}{N})$	$Var [\bar{y}] = (1 - f) S^{2} / n$

Repare de onde vem a promessa do passo 2: sem reposição $f_{i}$ só pode valer 0 ou 1, então é Bernoulli, e a conta produz o fator $(1 - n / N)$ . Com reposição ela pode valer 2, 3, … e é Binomial. Nada mais misterioso que isso.

Vale usar (2.14) no plano C (tamanho variável)?

Não. Falta a hipótese de tamanho fixo.

Vale (2.12) — $E [t] = \sum Y_{i} E [f_{i}]$ —, que serve para qualquer plano. Mas ela exige conhecer cada $Y_{i}$ , então não fecha em fórmula com $τ$ .

12 O resto das expressões úteis

Passo 12 de 12

São ferramentas de álgebra, não conceitos novos.

Você não precisa decorar: precisa reconhecer quando abrir o livro nesta página.

Onde cada uma é usada depois.
Nº	O que diz	Serve para
(2.2)	$\sum {(Y_{i} - μ)}^{2} = \sum Y_{i}^{2} - N μ^{2}$	abrir o quadrado; é a conta de sempre
(2.3)	o análogo para produtos de duas variáveis	covariância, caps. 5–6
(2.4)	$\sum_{i \neq j} Y_{i} Y_{j} = - \sum Y_{i}^{2} + N^{2} μ^{2}$	o termo cruzado de (2.13) → prova de (2.15)
(2.6)–(2.7)	esperança e variância de $n (s)$	plano qualquer
(2.8)–(2.9)	$Cov [f, f^{'}] = - Var [f] / (N - 1)$	simetria + tamanho fixo; é a peça que fecha (2.15)
(2.12)–(2.13)	$E$ e $Var$ de $t$ em plano qualquer	quando (2.14) não vale
(2.14)–(2.15)	o passo 11	caps. 3 e 4 inteiros
(2.16), (2.18)	$E [t^{2}]$ e $E [s_{q}^{2}]$	provar que $s^{2}$ é não viesado (Teor. 3.4 e 3.9)
(2.19)–(2.20)	esperança e variância iteradas	amostragem em dois estágios, cap. 8

Qual dessas expressões você vai usar no capítulo 3 sem nem perceber?

(2.14)–(2.15), em toda demonstração de variância.

E (2.16) e (2.18) na única demonstração realmente trabalhosa do capítulo 3: a de que $s^{2}$ estima $σ^{2}$ sem viés.

✓ Fecho — agora feche a página

Cinco minutos que valem uma hora de releitura

Pegue papel. Feche esta aba. Escreva tudo o que lembra do capítulo, de uma vez só — não passo por passo.

Escrever de memória o texto inteiro parece pior na hora: você lembra menos e trava mais do que se fizesse pedaço por pedaço. Mas dois dias depois rende mais, e o que você lembra sai mais organizado. O esforço de ligar as partes é o que fica.

Depois confira contra a lista abaixo. O que não apareceu, releia só aquele passo.

A população é uma lista fixa; o acaso está no sorteio.
$τ$ , $μ$ , $σ^{2}$ (divide por $N$ ), $S^{2}$ (divide por $N - 1$ ).
Amostra é sequência: ordem e repetição contam.
$f_{i}$ conta vezes, $δ_{i}$ diz sim/não; $t = \sum f_{i} Y_{i}$ .
$n (s)$ conta sorteios, $ν (s)$ conta distintos.
Plano = amostras + probabilidades que somam 1.
Distribuição amostral: valores da estatística com suas probabilidades.
$E$ e $Var$ são somas ponderadas por $P (s)$ ; 28 contra 14 no exemplo.
$π_{i} = E [δ_{i}]$ ; $π_{i} = 0$ é unidade invisível.
$EQM = Var + B^{2}$ ; julga-se o plano, não a amostra.
(2.14)–(2.15) valem sob simetria + tamanho fixo.
Binomial (com reposição) × Bernoulli (sem) — e é daí que vem o $(1 - f)$ .

Se travou em algum item

Volte ao passo correspondente e refaça só a checagem dele, sem reler o texto. Se acertar, o problema era acesso, não entendimento — e mais uma tentativa resolve.

Depois siga para os exercícios: eles enumeram $S_{A}$ por completo, que é o melhor jeito de não ter dúvida sobre o que é uma distribuição amostral.

+Exercícios resolvidos

Depois do fecho · nove exercícios, com a resposta comentada

Do fim do capítulo, os que fazem contas com os planos do Exemplo 2.6 — enumerando $S_{A}$ por completo, como o livro manda — e os dois que abrem caminho para o capítulo 3: a população de 180 condomínios (2.2), as distribuições de $f_{i}$ , $δ_{i}$ , $π_{i}$ e $π_{i j}$ nos planos B–E (2.3), EQM e correlação nos mesmos planos (2.4), a média de fumantes (2.5), a população de seis elementos com AASs (2.6), o plano C de tamanho variável (2.7), a conferência de (2.9) (2.8) e, entre os teóricos, a distribuição de $y_{i}$ na AASs (2.10). Todas as frações foram calculadas exatamente e conferidas com a enumeração em Python; o 2.1 fica só com o código, porque o resultado depende da semente.

Exercício 2.1 — Simular uma população N(50, 16) de tamanho 100

Simule uma população de tamanho $N = 100$ com $Y \sim N (50, 16)$ e encontre $τ$ , $μ$ e $S^{2}$ .

Atenção à notação: $N (50, 16)$ é média 50 e variância 16, então rnorm recebe desvio padrão 4. E var() do R já divide por $N - 1$ : é $S^{2}$ ; para $σ^{2}$ multiplique por $(N - 1) / N$ .

set.seed(2004)
Y <- rnorm(100, mean = 50, sd = 4)     # N(50, 16): variância 16, desvio padrão 4
N <- length(Y)
tau <- sum(Y); mu <- mean(Y); S2 <- var(Y); sigma2 <- S2 * (N - 1) / N
c(tau, mu, S2, sigma2)
# os seus números dependem da semente; espere tau ≈ 5000, mu ≈ 50, S2 ≈ 16

O ponto do exercício é a mudança de status: depois de simulada, a população é fixa — $τ$ , $μ$ e $S^{2}$ são constantes, não estimativas. Toda a aleatoriedade dos próximos capítulos virá do sorteio de amostras dessa população, e é contra esses três números que se medem viés e variância. (A normal foi só a fábrica dos $Y_{i}$ ; $S^{2}$ não é 16, é o que saiu.)

Exercício 2.2 — A população de 180 condomínios (Tabela 2.8)

$X$ é o número de apartamentos do condomínio e $Y$ o número de apartamentos alugados (brancos = zero). Encontre: (a) $μ_{Y}$ , $τ_{Y}$ , $S_{Y}^{2}$ ; (b) $μ_{X}$ , $τ_{X}$ , $S_{X}^{2}$ ; (c) a proporção $P$ de condomínios com mais de 20 apartamentos alugados e a variância populacional da variável $W_{i}$ que vale 1 se o condomínio tem mais de 20 alugados e 0 caso contrário.

Os 180 pares, transcritos da Tabela 2.8 (livro p. 60), na ordem $i = 1, \dots, 180$ :

Y <- c(19, 17, 25, 84, 91, 48, 48, 20, 34, 42, 35, 55, 42, 36, 13, 7, 8, 18,
       20, 18, 0, 23, 0, 19, 11, 11, 42, 28, 8, 0, 47, 27, 80, 52, 90, 78, 46,
       35, 59, 27, 33, 27, 9, 9, 12, 49, 60, 35, 11, 21, 22, 10, 9, 7, 3, 5,
       2, 8, 14, 5, 67, 44, 43, 15, 17, 29, 18, 14, 24, 35, 48, 20, 24, 55,
       43, 13, 19, 48, 44, 36, 3, 2, 13, 34, 28, 23, 8, 69, 2, 5, 34, 13, 16,
       21, 12, 10, 50, 58, 17, 41, 3, 4, 18, 1, 1, 3, 6, 5, 5, 4, 0, 0, 7, 7,
       3, 12, 11, 27, 14, 2, 1, 22, 25, 2, 4, 7, 15, 10, 5, 8, 8, 0, 4, 1, 3,
       0, 14, 3, 5, 0, 11, 19, 5, 0, 3, 12, 4, 14, 0, 20, 6, 4, 9, 54, 50, 9,
       6, 5, 1, 1, 0, 2, 2, 3, 1, 6, 3, 3, 5, 3, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 0)
X <- c(23, 18, 33, 89, 114, 66, 61, 25, 46, 58, 44, 66, 61, 45, 20, 16, 15,
       26, 22, 22, 2, 29, 3, 29, 21, 15, 54, 42, 13, 2, 53, 28, 90, 68, 99,
       89, 48, 48, 62, 33, 43, 37, 14, 15, 21, 68, 81, 59, 23, 32, 36, 16, 15,
       16, 8, 25, 11, 9, 19, 5, 110, 57, 81, 23, 25, 59, 27, 22, 29, 44, 53,
       27, 28, 62, 56, 22, 22, 57, 57, 46, 8, 4, 18, 42, 32, 28, 14, 76, 19,
       9, 48, 24, 27, 32, 14, 18, 61, 65, 25, 68, 8, 12, 27, 3, 3, 6, 14, 15,
       14, 9, 1, 4, 12, 22, 11, 27, 20, 38, 31, 4, 3, 37, 30, 3, 4, 13, 24,
       19, 17, 13, 18, 1, 10, 4, 9, 5, 20, 5, 13, 1, 23, 39, 9, 2, 5, 26, 10,
       35, 4, 38, 37, 11, 24, 102, 82, 24, 18, 18, 3, 6, 1, 7, 8, 12, 4, 8, 9,
       7, 12, 10, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 2, 1, 1, 1)
N <- length(Y); N
## [1] 180
c(sum(Y), mean(Y), var(Y))                  # (a)
## [1] 3363.00000   18.68333  409.74832
c(sum(X), mean(X), var(X))                  # (b)
## [1] 4928.00000   27.37778  609.40956
W <- as.numeric(Y > 20); P <- mean(W)       # (c)
c(sum(W), P, var(W), P * (1 - P))
## [1] 58.0000000  0.3222222  0.2196151  0.2183951

(a) $τ_{Y} = 3363$ , $μ_{Y} = 18,68$ , $S_{Y}^{2} = 409,7$ . (b) $τ_{X} = 4928$ , $μ_{X} = 27,38$ , $S_{X}^{2} = 609,4$ . (c) 58 dos 180 condomínios têm mais de 20 alugados: $P = 58 / 180 = 0,3222$ . Uma proporção é a média de uma variável 0–1, e a sua variância populacional tem forma fechada: $σ^{2} = P (1 - P) = 0,2184$ e $S^{2} = \frac{N}{N - 1} P (1 - P) = 0,2196$ — porque $W_{i}^{2} = W_{i}$ , e (2.2) dá $\sum {(W_{i} - P)}^{2} = N P - N P^{2}$ . Guarde esta população: ela volta nos exercícios dos capítulos 3, 5 e 6 (a razão $R = 3363 / 4928 = 0,682$ apartamentos alugados por apartamento, e a correlação $ρ_{X Y} = 0,96$ , é o que faz os estimadores razão e regressão brilharem).

Exercício 2.3 — $f_{i}$ , $δ_{i}$ , $π_{i}$ e $π_{i j}$ nos planos B, C, D e E

Para cada plano B, C, D, E do Exemplo 2.6: (a) construa as distribuições de $f_{i}$ e $δ_{i}$ ; (b) calcule $E [δ_{i}]$ e $Var [δ_{i}]$ ; (c) encontre $π_{i}$ e $π_{i j}$ .

Regra geral que resolve (b) e (c) de uma vez: $δ_{i}$ é Bernoulli( $π_{i}$ ), logo $E [δ_{i}] = π_{i}$ e $Var [δ_{i}] = π_{i} (1 - π_{i})$ ; $π_{i}$ é a soma de $P (s)$ sobre as amostras que contêm $i$ , e $π_{i j}$ sobre as que contêm ambos. Nos planos sem reposição (B, D, E), $f_{i} = δ_{i}$ ; só em C, com reposição, $f_{i}$ pode passar de 1.

Distribuições de $f_{i}$ e $δ_{i}$ , probabilidades de inclusão e momentos. Em B, D e E, $f_{i} = δ_{i}$ .
Plano	Unidade	$f_{i}$ : valores (probabilidades)	$π_{i} = E [δ_{i}]$	$Var [δ_{i}]$	$π_{i j}$
B	1, 2, 3	0 (1/3), 1 (2/3)	2/3	2/9	$π_{12} = π_{13} = π_{23} = 1 / 3$
C	1	0 (14/27), 1 (8/27), 2 (4/27), 3 (1/27); $δ_{1}$ : 0 (14/27), 1 (13/27)	13/27	182/729	$π_{12} = π_{23} = 6 / 27$ , $π_{13} = 8 / 27$
	2	0 (8/27), 1 (19/27) — nunca repete: o sorteio para quando o 2 sai	19/27	152/729
	3	igual à unidade 1	13/27	182/729
D	1	0 (7/12), 1 (5/12)	5/12	35/144	$π_{12} = 4 / 15$ , $π_{13} = 3 / 20$ , $π_{23} = 7 / 12$
	2	0 (3/20), 1 (17/20)	17/20	51/400
	3	0 (4/15), 1 (11/15)	11/15	44/225
E	1	0 (1/2), 1 (1/2)	1/2	1/4	$π_{12} = π_{23} = 1 / 2$ , $π_{13} = 0$
	2	1 (1) — degenerada	1	0
	3	0 (1/2), 1 (1/2)	1/2	1/4

Como se chega a cada linha — dois exemplos. C, unidade 1: $f_{1} = 3$ só em (111), 1/27; $f_{1} = 2$ em (112), (113), (131), (311), 4/27; $f_{1} = 1$ em (12), 1/9, e (132), (312), (133), (313), (331), 5/27 — total 8/27; o resto, 14/27. $π_{1} = 1 - 14 / 27 = 13 / 27$ . D, unidade 3: amostras com 3: (13) 1/15, (31) 1/12, (23) 1/3, (32) 1/4 — em sessenta avos, 4 + 5 + 20 + 15 = 44, logo $π_{3} = 44 / 60 = 11 / 15$ . Duas verificações que valem para qualquer plano de tamanho fixo $n$ : $\sum π_{i} = n$ (em D: $25 / 60 + 51 / 60 + 44 / 60 = 2$ ) e $\sum_{j \neq i} π_{i j} = (n - 1) π_{i}$ (em D, $i = 1$ : $4 / 15 + 3 / 20 = 25 / 60 = π_{1}$ ). Em C, de tamanho variável, $\sum π_{i} = 45 / 27 = 5 / 3 = E [ν]$ , o tamanho efetivo esperado — não o tamanho esperado $E [n] = 19 / 9$ do Exercício 2.7.

Em D, o plano PPT faz o que promete: a unidade 2, com 3 dos 6 trabalhadores, tem $π_{2} = 0,85$ ; a unidade 1, com 1 trabalhador, $π_{1} = 0,42$ . E o plano E tem $π_{13} = 0$ : as unidades 1 e 3 nunca aparecem juntas — no capítulo 9 isso torna a variância de Horvitz–Thompson inestimável.

Exercício 2.4 — EQM de $r$ , covariância e correlação com $\bar{f}$ nos planos B, C, D e E

Para os planos B, C, D e E, calcule $EQM [r]$ , $Cov [r, \bar{f}]$ e $Corr [r, \bar{f}]$ , com os dados do Exemplo 2.10 ( $R = 10$ ).

Mesma receita do Exemplo 2.11, plano a plano. Para C, a distribuição de $r$ tem sete valores: 9 (1/27, de 333), 66/7 ≈ 9,43 (1/27, de 332), 9,6 (2/9), 10 (11/27), 10,5 (2/9), 10,8 (1/27, de 112) e 12 (1/27, de 111). A tabela resume; abaixo, o código que a produz.

Plano	$E [r]$	$Var [r]$	$B [r]$	$EQM [r]$	$E [\bar{f}]$	$Var [\bar{f}]$	$Cov [r, \bar{f}]$	$Corr$
A (Ex. 2.14)	10,1333	0,6289	0,1333	0,6467	20	28	−1,8000	−0,4289
B	10,0333	0,1356	0,0333	0,1367	20	14	−0,3667	−0,2662
C	10,0677	0,3075	0,0677	0,3121	22,41	38,02	−1,0609	−0,3103
D	9,9000	0,1500	−0,1000	0,1600	21,85	9,9275	−0,6150	−0,5040
E	10,0500	0,2025	0,0500	0,2050	22,5	2,25	−0,6750	−1

F <- c(12, 30, 18); T <- c(1, 3, 2); R <- sum(F) / sum(T)
momentos <- function(S, p) {              # S: lista de amostras; p: suas probabilidades
  r  <- sapply(S, function(s) sum(F[s]) / sum(T[s]))
  fb <- sapply(S, function(s) mean(F[s]))
  Er <- sum(r * p); Vr <- sum((r - Er)^2 * p)
  Ef <- sum(fb * p); Vf <- sum((fb - Ef)^2 * p)
  Cv <- sum((r - Er) * (fb - Ef) * p)
  round(c(EQM = Vr + (Er - R)^2, Cov = Cv, Corr = Cv / sqrt(Vr * Vf)), 4)
}
momentos(list(c(1,2), c(1,3), c(2,1), c(2,3), c(3,1), c(3,2)), rep(1/6, 6))          # B
##     EQM     Cov    Corr
##  0.1367 -0.3667 -0.2662
momentos(list(2, c(1,2), c(3,2), c(1,1,2), c(1,3,2), c(3,3,2), c(3,1,2), c(1,1,1),
              c(1,1,3), c(1,3,1), c(3,1,1), c(1,3,3), c(3,1,3), c(3,3,1), c(3,3,3)),
         c(1/3, 1/9, 1/9, rep(1/27, 12)))                                            # C
##     EQM     Cov    Corr
##  0.3121 -1.0609 -0.3103
momentos(list(c(1,2), c(2,1), c(1,3), c(3,1), c(2,3), c(3,2)),
         c(1/10, 1/6, 1/15, 1/12, 1/3, 1/4))                                         # D
##    EQM    Cov   Corr
##  0.160 -0.615 -0.504
momentos(list(c(1,2), c(3,2)), c(1/2, 1/2))                                          # E
##    EQM    Cov   Corr
##  0.205 -0.675 -1.000

Leitura. Todos os planos dão $r$ viesado — é a regra para razões —, mas o viés é pequeno perto da variância. Em EQM, B (AASs) bate A (AASc) por um fator de quase 5: sem reposição não existem as amostras (11) e (33), que dão os valores extremos 12 e 9. D (PPT) é o segundo melhor e o único com viés negativo: ele privilegia o domicílio 2, cuja renda por trabalhador (10) é exatamente $R$ , e aparece muito (23) e (32), que dão 9,6. E tem só duas amostras, logo $r$ e $\bar{f}$ são funções lineares uma da outra e a correlação é −1. E repare em $E [\bar{f}]$ : só em A e B a média amostral é não viciada para $μ_{F} = 20$ ; em C, D e E, que não são simétricos, ela superestima — o domicílio rico entra demais.

Exercício 2.5 — A média de fumantes $\bar{z}$ nos planos A e B

Seja $\bar{z}$ a média de fumantes na amostra (Exemplo 2.1: $G = (0, 1, 1)$ ). Encontre $E [\bar{z}]$ e $Var [\bar{z}]$ sob os planos A e B.

Direto pela enumeração: em A, $\bar{z}$ vale 0 em (11), 1/2 em (12), (13), (21), (31), e 1 em (22), (23), (32), (33) — probabilidades 1/9, 4/9, 4/9. Em B, vale 1/2 em (12), (13), (21), (31) e 1 em (23), (32) — 2/3 e 1/3.

E_{A} [\bar{z}] = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} + 1 \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{3}, {Var}_{A} [\bar{z}] = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9} + 1 \cdot \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9};

E_{B} [\bar{z}] = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}, {Var}_{B} [\bar{z}] = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{4}{9} = \frac{1}{18} .

Pela seção 6.3, sem enumerar: a proporção populacional é $P = 2 / 3$ , $σ^{2} = P (1 - P) = 2 / 9$ , $S^{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{3}$ . Ambos os planos são simétricos de tamanho fixo, então $E [\bar{z}] = E [t] / 2 = E [f] τ / 2 = (2 / 3) (2) / 2 = 2 / 3$ nos dois; e $Var [\bar{z}] = Var [f] N S^{2} / 4$ : em A, $Var [f] = 4 / 9$ dá $(4 / 9) (3) (1 / 3) / 4 = 1 / 9$ ; em B, $Var [f] = (2 / 3) (1 / 3) = 2 / 9$ dá $1 / 18$ . Confere — e mostra o fator de correção $(N - n) / (N - 1) = 1 / 2$ entre AASs e AASc.

Exercício 2.6 — $N = 6$ , $D = (2, 6, 10, 8, 10, 12)$ , AASs com $n = 2$

Uma amostra de $n = 2$ é selecionada sem reposição, cada amostra de $S_{A}$ com a mesma probabilidade. (a) Calcule $Var [f_{i}]$ e $Cov [f_{i}, f_{j}]$ ; o plano é simétrico? (b) Encontre a distribuição de $t (s)$ , $E [t]$ e $Var [t]$ . (c) Verifique se $\bar{y}$ é não viciado para $μ$ e calcule $Var [\bar{y}]$ .

A população. $τ = 48$ , $μ = 8$ , desvios $- 6, - 2, 2, 0, 2, 4$ , soma de quadrados 64, logo $S^{2} = 64 / 5 = 12,8$ e $σ^{2} = 64 / 6$ .

(a) Sem reposição, $f_{i} = δ_{i}$ . Tomando as 15 amostras não ordenadas com 1/15 cada, a unidade $i$ está em 5 delas: $π_{i} = 5 / 15 = 1 / 3 = n / N$ e $Var [f_{i}] = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ . O par ${i, j}$ é uma única amostra: $π_{i j} = 1 / 15$ , e

Cov [f_{i}, f_{j}] = π_{i j} - π_{i} π_{j} = \frac{1}{15} - \frac{1}{9} = - \frac{2}{45} .

Os valores não dependem de quais $i$ , $j$ se escolhem — o plano é simétrico, porque a regra trata todas as unidades do mesmo modo (qualquer permutação dos rótulos deixa $P (s)$ igual). E é de tamanho fixo: (2.9) prevê $- Var [f] / (N - 1) = - (2 / 9) / 5 = - 2 / 45$ . ✓

(b) As 15 somas de pares: 8 (uma vez: {2, 6}), 10 (1), 12 (2), 14 (2), 16 (2), 18 (3: {6,12}, {10,8}, {8,10}), 20 (2), 22 (2).

$t$	8	10	12	14	16	18	20	22
$P (t)$	1/15	1/15	2/15	2/15	2/15	3/15	2/15	2/15

E [t] = \frac{8 + 10 + 2 \cdot 12 + 2 \cdot 14 + 2 \cdot 16 + 3 \cdot 18 + 2 \cdot 20 + 2 \cdot 22}{15} = \frac{240}{15} = 16

Var [t] = E [t^{2}] - 16^{2} = \frac{4096}{15} - 256 = \frac{256}{15} \approx 17,07 .

Pelas fórmulas: $E [t] = E [f] τ = (1 / 3) (48) = 16$ e $Var [t] = Var [f] N S^{2} = (2 / 9) (6) (64 / 5) = 256 / 15$ . ✓ (E (2.16): $E [t^{2}] = 256 / 15 + 256 = 4096 / 15$ . ✓)

(c) $\bar{y} = t / 2$ , logo $E [\bar{y}] = 8 = μ$ — não viciado — e $Var [\bar{y}] = \frac{256}{15 \cdot 4} = \frac{64}{15} \approx 4,27$ . Na forma que o capítulo 3 vai consagrar: $(1 - n / N) S^{2} / n = (2 / 3) (12,8) / 2 = 4,27$ .

D <- c(2, 6, 10, 8, 10, 12); N <- 6
S <- combn(N, 2)                              # as 15 amostras não ordenadas, 1/15 cada
t <- colSums(matrix(D[S], nrow = 2))
table(t)
## t
##  8 10 12 14 16 18 20 22
##  1  1  2  2  2  3  2  2
c(mean(t), mean(t^2) - mean(t)^2, var(D) * N * (1/3) * (2/3))
## [1] 16.00000 17.06667 17.06667

Exercício 2.7 — O plano C: tamanho aleatório, sem simetria

Para o plano C: (a) $E [n]$ e $Var [n]$ ; (b) o plano é simétrico? (c) a distribuição de $r$ : (i) $r$ é não viciado para $R = \bar{F} / \bar{T}$ ? (ii) $EQM [r]$ .

(a) $n$ vale 1 com probabilidade 1/3 (a amostra (2)), 2 com 2/9 ((12) e (32)) e 3 com 12/27 = 4/9. Então $E [n] = \frac{1}{3} + \frac{4}{9} + \frac{12}{9} = \frac{19}{9} \approx 2,11$ , $E [n^{2}] = \frac{3}{9} + \frac{8}{9} + \frac{36}{9} = \frac{47}{9}$ e $Var [n] = \frac{47}{9} - \frac{361}{81} = \frac{62}{81} \approx 0,77$ . Pela via de (2.6): $E [f_{1}] + E [f_{2}] + E [f_{3}] = 3 \times 19 / 27 = 19 / 9$ . ✓

(b) Não. Curiosamente as esperanças coincidem — $E [f_{1}] = E [f_{2}] = E [f_{3}] = 19 / 27$ — mas as variâncias não: $Var [f_{1}] = 530 / 729$ (a unidade 1 pode aparecer até 3 vezes) e $Var [f_{2}] = 152 / 729$ (a unidade 2 aparece no máximo uma vez, porque encerra o sorteio). As covariâncias também diferem: $Cov [f_{1}, f_{2}] = - 172 / 729$ , mas $Cov [f_{1}, f_{3}] = + 17 / 729$ — positiva, porque 1 e 3 só aparecem muito quando o 2 demora a sair. Sem simetria, (2.14) e (2.15) não valem: de fato $E [t] = \sum Y_{i} E [f_{i}]$ ainda é $(19 / 27) τ$ porque as esperanças por acaso coincidem, mas a variância precisa de (2.13) inteira.

(c) A distribuição de $r$ está no Exercício 2.4: sete valores, de 9 a 12, com $E [r] = 9514 / 945 \approx 10,068$ . (i) $R = \bar{F} / \bar{T} = 20 / 2 = 10$ ; $E [r] \neq 10$ , logo viciado, com $B = 64 / 945 \approx 0,068$ . (ii) $EQM [r] = 0,3075 + {0,068}^{2} = 0,3121$ — pior que B e D (tamanho fixo 2), melhor que A, com um tamanho médio de 2,11 unidades.

Exercício 2.8 — Conferir (2.9) no plano A

Para o plano A, calcule $Cov [f_{1}, f_{2}]$ e verifique (2.9).

Da Tabela 2.5, o produto $f_{1} f_{2}$ é 1 nas amostras (12) e (21) e 0 nas outras sete: $E [f_{1} f_{2}] = 2 / 9$ . Com $E [f_{1}] = E [f_{2}] = 2 / 3$ ,

Cov [f_{1}, f_{2}] = \frac{2}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = - \frac{2}{9}, - \frac{Var [f]}{N - 1} = - \frac{4 / 9}{2} = - \frac{2}{9} . ✓

( $Var [f] = 4 / 9$ da Tabela 2.6: $E [f_{1}^{2}] = 4 / 9 + 4 / 9 = 8 / 9$ , menos $4 / 9$ .) O vetor $(f_{1}, f_{2}, f_{3})$ na AASc é Multinomial(2; 1/3, 1/3, 1/3), cuja covariância é $- n p_{i} p_{j} = - 2 / 9$ — o mesmo número por outro caminho.

Exercício 2.10 (teórico) — A distribuição de $y_{i}$ na AASs

Para a AASs de uma população com $N$ elementos, encontre a distribuição de $y_{1}, \dots, y_{n}$ dadas em (2.1) e verifique que $E [y_{i}] = \bar{Y}$ , $Var [y_{i}] = \frac{N - 1}{N} S^{2}$ e $Cov [y_{i}, y_{j}] = - S^{2} / N$ .

A marginal. Na AASs ordenada, o elemento que cai na posição $i$ é qualquer um dos $N$ com igual probabilidade — na posição 1 por construção, e nas seguintes por simetria: cada uma das $N (N - 1) \dots (N - n + 1)$ sequências tem a mesma probabilidade, e o número de sequências com a unidade $k$ na posição $i$ não depende de $i$ nem de $k$ . Logo $P (y_{i} = Y_{k}) = 1 / N$ , $k = 1, \dots, N$ : $y_{i}$ é uniforme sobre os valores da população, e

E [y_{i}] = \frac{1}{N} \sum Y_{k} = \bar{Y}, Var [y_{i}] = \frac{1}{N} \sum {(Y_{k} - μ)}^{2} = σ^{2} = \frac{N - 1}{N} S^{2} .

O par. Para $i \neq j$ , $(y_{i}, y_{j})$ é um par ordenado de unidades distintas, uniforme sobre os $N (N - 1)$ pares. Então, usando (2.4) e depois (2.2),

E [y_{i} y_{j}] = \frac{1}{N (N - 1)} \sum_{k \neq l} Y_{k} Y_{l} = \frac{N^{2} μ^{2} - \sum Y_{k}^{2}}{N (N - 1)},

Cov [y_{i}, y_{j}] = \frac{N^{2} μ^{2} - \sum Y_{k}^{2}}{N (N - 1)} - μ^{2} = \frac{N μ^{2} - \sum Y_{k}^{2}}{N (N - 1)} = - \frac{\sum {(Y_{k} - μ)}^{2}}{N (N - 1)} = - \frac{S^{2}}{N} . ∎

Para que serve. É a versão “por posições” do que a seção 6.3 fez “por unidades”: $Var [t] = \sum Var [y_{i}] + \sum_{i \neq j} Cov [y_{i}, y_{j}] = n \frac{N - 1}{N} S^{2} - n (n - 1) \frac{S^{2}}{N} = n (1 - \frac{n}{N}) S^{2}$ — o mesmo $256 / 15$ do Exercício 2.6 com $n = 2$ , $N = 6$ , $S^{2} = 12,8$ : $2 \times \frac{5}{6} \times 12,8 - 2 \times \frac{12,8}{6} = 21,33 - 4,27 = 17,07$ . ✓ Com reposição as posições seriam independentes e a covariância zero — é o caminho do capítulo 3.

Sobre esta versão. Mesmo conteúdo do capítulo 2 de Bolfarine & Bussab (págs. 37–60), reorganizado em doze passos curtos, cada um com o caso numérico antes do símbolo e uma pergunta de recuperação no fim. Todos os valores foram recalculados. Divergências do impresso: no Exemplo 2.7 a fórmula de $P (s)$ repete “se $i \in s$ ” por erro de composição (leia “1/9 se $s \in S_{2}$ ”); no Exemplo 2.14 o EQM impresso é 0,6458, e o exato é 97/150 = 0,6467.

1 A população é uma lista de números fixos

No exemplo

Em símbolos

2 Quatro parâmetros, e um par que confunde

3 Amostra é uma sequência, não um conjunto

No exemplo

Em símbolos

4 Onde mora o acaso: fi e δi

No exemplo

Em símbolos

5 Dois tamanhos diferentes

No exemplo

Em símbolos

6 O plano amostral é uma lista com probabilidades

No exemplo

Em símbolos

7 Estatística, e a distribuição que ela ganha

8 Esperança e variância são médias ponderadas pelo plano

9 A chance de cada unidade entrar: πi e πij

No exemplo — plano A

Em símbolos

10 Viés e EQM: errar no centro e errar no espalhamento

11 As duas fórmulas que sustentam os capítulos 3 e 4

Simétrico

Tamanho fixo

12 O resto das expressões úteis

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+Exercícios resolvidos

Exercício 2.1 — Simular uma população N(50, 16) de tamanho 100

Exercício 2.2 — A população de 180 condomínios (Tabela 2.8)

Exercício 2.3 — fi, δi, πi e πij nos planos B, C, D e E

Exercício 2.4 — EQM de r, covariância e correlação com f¯ nos planos B, C, D e E

Exercício 2.5 — A média de fumantes z¯ nos planos A e B

Exercício 2.6 — N=6, D=(2,6,10,8,10,12), AASs com n=2

Exercício 2.7 — O plano C: tamanho aleatório, sem simetria

Exercício 2.8 — Conferir (2.9) no plano A

Exercício 2.10 (teórico) — A distribuição de yi na AASs

4 Onde mora o acaso: $f_{i}$ e $δ_{i}$

9 A chance de cada unidade entrar: $π_{i}$ e $π_{i j}$

Exercício 2.3 — $f_{i}$ , $δ_{i}$ , $π_{i}$ e $π_{i j}$ nos planos B, C, D e E

Exercício 2.4 — EQM de $r$ , covariância e correlação com $\bar{f}$ nos planos B, C, D e E

Exercício 2.5 — A média de fumantes $\bar{z}$ nos planos A e B

Exercício 2.6 — $N = 6$ , $D = (2, 6, 10, 8, 10, 12)$ , AASs com $n = 2$

Exercício 2.10 (teórico) — A distribuição de $y_{i}$ na AASs